Question

在桌面上有一個倒立的透明的玻璃圓錐，其頂點恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，過軸線的截面為等邊三角形，如圖所示．有一半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的桌面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率為n=1.73．r為已知，求：
（1）通過計算說明光線1能不能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射？
（2）光線1經(jīng)過圓錐側(cè)面B點后射到桌面上某一點所用的總時間是t多少？光照亮地面的光斑面積s多大？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的地面上，經(jīng)過第一次折射時，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光線不發(fā)生偏折．當(dāng)?shù)诙�次折射時，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率為1.73，可得入射角與臨界角的大小，所以會發(fā)生光的全反射，反射光線卻恰好垂直射出．
（2）可根據(jù)幾何關(guān)系可確定光線在圓錐內(nèi)和外通過的路程，由v=

c

n

求出光線在玻璃中的速度，即可求解時間．可先根據(jù)幾何關(guān)系可確定光斑的半徑，再求解光斑面積．

解答：解：（1）設(shè)玻璃圓錐的臨界角為C，則，由sinC=

1

n

得：C=arcsin

1

n

=arcsin

1

1.73

≈arcsin

3

3

而arcsin

3

2

=60°
所以C＜60°
根據(jù)幾何知識可知，光線在B點的入射角為60°，大于臨界角，所以光線1能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射．
（2）由幾何關(guān)系知：BE=EF=BOtan60°，BO=r
則BE=EF=

3

r
所以光線1經(jīng)過圓錐側(cè)面B點后射到桌面上某一點所用的總時間是 t=

BE

v

+

EF

c

=

BE

c n

+

EF

c

=

3 r×1.73

c

+

3 r

c

=

2.73 3 r

c

．
光斑半徑 R=OF=GF-BOcos60°=2BEcos30°-r=

3

r?

3

-r=2r
故光照亮地面的光斑面積s=πR²=4πr²．
答：
（1）通過計算說明光線1能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射．
（2）光線1經(jīng)過圓錐側(cè)面B點后射到桌面上某一點所用的總時間t為

2.73 3 r

c

，光照亮地面的光斑面積s是4πr²．

點評：本題關(guān)鍵之處是借助于光的折射與反射定律作出光路圖，同時利用幾何關(guān)系來輔助計算．