Question

如圖甲所示，在坐標(biāo)系xoy中，y軸左側(cè)有沿x軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E；y軸右側(cè)有如圖乙所示，大小和方向周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小B₀已知．磁場(chǎng)方向垂直紙面向里為正．t=0時(shí)刻，從x軸上的p點(diǎn)無(wú)初速釋放一帶正電的粒子，質(zhì)量為m，電量為q（粒子重力不計(jì)），粒子第一次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等．求

（1）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離；
（2）粒子經(jīng)一個(gè)周期沿y軸發(fā)生的位移；
（3）粒子能否再次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，若不能說(shuō)明理由．若能，求粒子再次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的時(shí)刻；
（4）粒子第4n（n=1、2、3…）次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期公式及牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求解；
（2）由勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑公式結(jié)合幾何知識(shí)，可求出每經(jīng)一個(gè)周期沿y軸發(fā)生的位移；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系可確定粒子運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，再由周期公式結(jié)合時(shí)間關(guān)系即可求解；
（4）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡半徑公式，可得每一個(gè)周期內(nèi)沿y軸偏離的位移即可求解；

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₀，
由勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期公式得，t0=

πm

qB0

由牛頓第二定律，qE=ma  
設(shè)OP間距為x，
則有x=

1

2

a

t

2 0

解得：x=

mEπ2

2q B 2 0

（2）粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R₁和R₂，
由運(yùn)動(dòng)軌跡半徑公式得，R1=

mv0

qB0

                      R2=

3mv0

2qB0

粒子每經(jīng)一個(gè)周期沿y軸向下移動(dòng)△x，
則有，△x=2R2-2R1=

πmE

q B 2 0

（3）當(dāng)粒子從左側(cè)射入向上偏轉(zhuǎn)時(shí)可能再次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，故從O點(diǎn)下方2R₁處入射時(shí)，
由幾何關(guān)系得，2R₁=N△x 
解得：N=2，粒子能再次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)．
因t=2T+2t₀ 
由 T=

6.5πm

qB0

 
解得：t=

15πm

qB0

（4）經(jīng)分析知粒子每個(gè)周期4次經(jīng)過(guò)y軸，每個(gè)周期沿y軸移動(dòng)距離為△x，
故
y=-n△x=nR₁  
解得：y=-

nmπE

q B 2 0

(n=1、2、3…)
答：（1）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為

mEπ2

2q B 2 0

；
（2）粒子經(jīng)一個(gè)周期沿y軸發(fā)生的位移為

πmE

q B 2 0

；
（3）粒子能，則粒子再次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的時(shí)刻為

15πm

qB0

；
（4）粒子第4n（n=1、2、3…）次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的縱坐標(biāo)為-

nmπE

q B 2 0

(n=1、2、3…)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的周期與半徑公式熟練掌握，同時(shí)還由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式相結(jié)合來(lái)處理類平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題．并注意運(yùn)動(dòng)的周期性，及由幾何知識(shí)來(lái)確定已知長(zhǎng)度與軌跡半徑的關(guān)系．