Question

19．為了研究過(guò)山車(chē)的原理，某物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為θ=53°，長(zhǎng)為S=2.5m的傾斜軌道AB，通過(guò)微小圓弧與長(zhǎng)為L(zhǎng)=3.4m的水平軌道BC相連，然后在C處設(shè)計(jì)一個(gè)豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道D，如圖所示．現(xiàn)將一個(gè)小球從距A點(diǎn)高為h=0.8m的水平臺(tái)面上以一定的初速度v₀水平彈出，到A點(diǎn)時(shí)速度v_A方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知小球與AB和BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5．（sin53°=0.8  cos53°=0.6，取g=10m/s²）．試求：
（1）小球到A點(diǎn)時(shí)速度v_A的大小
（2）小球滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速率v_C
（3）要使小球恰好做完整圓周運(yùn)動(dòng)，求圓軌道的半徑R．

Answer 1

分析 （1）小球從離開(kāi)彈簧到A的過(guò)程做平拋運(yùn)動(dòng)，由高度h求出小球到A點(diǎn)時(shí)豎直分速度，由速度的分解求出小球到A點(diǎn)時(shí)速度v_A和平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v₀．
（2）小球從A到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理列出公式即可求出C點(diǎn)的速度v_C；
（3）小球恰好做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律和向心力知識(shí)求出到最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求解軌道半徑R．

解答 解：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：v_y²=2gh
代入數(shù)據(jù)解得：v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
小球到A點(diǎn)時(shí)速度 v_A=$\frac{{v}_{y}}{sin53°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
（2）小球從A到C點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
   mgSsinθ-μmgScosθ-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=6m/s
（3）小球剛剛過(guò)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，則：
   mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從C到圓軌道最高點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 R=0.72 m
答：
（1）小球到A點(diǎn)時(shí)速度v_A的大小是5m/s．
（2）小球滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速率v_C是6m/s．
（3）要使小球恰好做完整圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道的半徑R是0.72m．

點(diǎn)評(píng) 明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解決問(wèn)題的前提，要把握每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的物理規(guī)律，如平拋運(yùn)動(dòng)研究的方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，要抓住圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．