Question

13．利用彈簧彈射和傳送帶傳動裝置可以將工件運送至高處．如圖所示，已知傳送軌道平面與水平方向成37°角，傾角也是37°的光滑斜面軌道固定于地面且與傳送軌道良好對接，彈簧下端固定在斜面底端，工件與皮帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.25．傳送帶傳動裝置順時針勻速轉(zhuǎn)動的速度v=4m/s，兩輪軸心相距L=5m，B、C 分別是傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑．現(xiàn)將質(zhì)量m=1kg的工件放在彈簧上，用力將彈簧壓縮至A 點后由靜止釋放，工件離開斜面頂端滑到傳送帶上的B點時速度v₀=8m/s，AB 間的距離s=1m．工件可視為質(zhì)點，g 取10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）彈簧的最大彈性勢能；
（2）工件沿傳送帶上滑的時間；
（3）若傳送裝置順時針勻速轉(zhuǎn)動的速度v 可在v＞4m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，試推導工件滑動到C 點時的速度v_C隨速度v變化的關系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)工件離開斜面頂端滑到皮帶上的B點時速度v₀=8m/s，AB間的距離s=lm，通過能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．
（2）因為μ＜tan37°，當工件速度減為傳送帶速度時，又以不同的加速度向上減速，根據(jù)牛頓第二定律求出兩次勻減速直線運動的加速度，然后根據(jù)運動學公式求出上滑的總時間．
（3）當傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，工件先以加速度a₁減速向上滑行，再以加速度a₂減速向上滑行，根據(jù)運動學公式求出工件滑動到C點時的速度v_c隨速度v變化的關系式．
當傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點，根據(jù)運動學公式求出工件滑動到C點時的速度v_c隨速度v變化的關系式．

解答 解：（1）滑塊從A到B過程，彈簧的彈性勢能的減小等于滑塊機械能的增加，根據(jù)機械能守恒定律，彈簧的最大彈性勢能為：E_p=mgssin37°+$\frac{1}{2}$mv₀²
代入數(shù)據(jù)解得：E_P=38J．
（2）工件沿傳送軌道減速向上滑動的過程中有：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得 a₁=8m/s²．
從B點運動到與傳送帶共速需要的時間為：t₁=$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}$=$\frac{8-4}{8}$s=0.5s．
工件滑行的位移大小為：s₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t₁=$\frac{8+4}{2}$×0.5m=3m＜L．
因為μ＜tan37°，所以工件將沿傳送帶繼續(xù)減速上滑．有：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=4m/s²．
假設工件速度減為零時，工件未從傳送帶上滑落，則有：t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{4}$s=1s．
工件滑行的位移大小為：s₂=$\frac{v}{2}$t₂=$\frac{4}{2}$×1=2m=L-s₁；
故假設成立，工件沿傳送帶上滑的時間為：t=t₁+t₂=1.5s．
（3）當傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，工件先以加速度a₁減速向上滑行的位移為：s₁′=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$．
當速度減到v后又以加速度a₂減速向上滑行 L-s₁′=$\frac{{v}^{2}-{v}_{C}^{2}}{2{a}_{2}}$，
解得，工件滑動C點的速度v_C隨速度v的變化關系式為：v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$，
當傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點，有：
v_c²-v₀²=2a₂L
工件滑動到C點的速度v_c隨速度v變化的關系式 v_c=2 $\sqrt{6}$m/s．
答：（1）彈簧的最大彈性勢能為38J．
（2）工件沿傳送帶上滑的時間為1.5s．
（3）當傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s時，工件滑動C點的速度v_C隨速度v的變化關系式為v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$，當傳送帶的速度v≥8m/s時，工件滑動到C點的速度v_c隨速度v變化的關系式為v_c=2 $\sqrt{6}$m/s．

點評 解決本題的關鍵理清工件的運動情況，注意分析工件與傳送帶速度相同時的運動狀態(tài)，通過牛頓第二定律和運動學公式進行研究．