Question

1．邊長為3L的正方形區(qū)域分成相等的三部分，左右兩側(cè)為勻強磁場，中間區(qū)域為勻強電場，如圖所示．左側(cè)磁場的磁感應強度大小為B₁=$\frac{\sqrt{6mqU}}{2qL}$，方向垂直紙面向外；右側(cè)磁場的磁感應強度大小為B₂=$\frac{\sqrt{6mqU}}{qL}$，方向垂直于紙面向里；中間區(qū)域電場方向與正方形區(qū)域的上下邊界平行．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從平行金屬板的正極板開始由靜止被加速，加速電壓為U，加速后粒子從a點進入左側(cè)磁場，又從距正方形上下邊界等間距的b點沿與電場平行的方向進入電場，不計粒子重力，求：
（1）粒子經(jīng)過平行金屬板加速后的速度大��；
（2）粒子在左側(cè)磁場區(qū)域內(nèi)運動時的半徑及運動時間；
（3）電場強度E的取值在什么范圍內(nèi)時粒子能從右側(cè)磁場的上邊緣cd間離開？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子經(jīng)過平行金屬板加速后的速度大小；
（2）根據(jù)半徑公式求出粒子在左側(cè)磁場中運動的軌道半徑，結(jié)合圓心角，通過周期公式求出粒子的運動時間．
（3）作出粒子在上邊緣cd間離開磁場的軌跡圖，結(jié)合臨界狀態(tài)，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，結(jié)合半徑公式和動能定理求出電場強度的范圍．

解答 解：（1）粒子在電場中運動時有：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）粒子進入磁場B₁后有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：${R}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}=\frac{2L}{\sqrt{3}}$．
設粒子在磁場B₁中轉(zhuǎn)過的角度為α，由$sinα=\frac{L}{{R}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：α=60°．
周期為：T=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$，
粒子在磁場B₁中運動的時間為：t=$\frac{1}{6}T=\frac{πL}{3}\sqrt{\frac{2m}{3qU}}$．
（3）粒子在磁場B₂中運動，在上邊緣cd間離開的速度分別為v_n與v_m，與之相對應的半徑分別為R_n與R_m．由分析知${R}_{n}=\frac{3}{4}L$，R_m=L   
由牛頓第二定律有：$q{v}_{n}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{{R}_{n}}$，
粒子在電場中有：$q{E}_{n}L=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：${E}_{n}=\frac{11U}{16L}$．
同理有：${E}_{m}=\frac{2U}{L}$．
所以電場強度的范圍為：$\frac{11U}{16L}$≤E≤$\frac{2U}{L}$．
答：（1）粒子經(jīng)過平行金屬板加速后的速度大小為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子在左側(cè)磁場區(qū)域內(nèi)運動時的半徑為$\frac{2L}{\sqrt{3}}$，運動時間為$\frac{πL}{3}\sqrt{\frac{2m}{3qU}}$；
（3）電場強度E的取值范圍為$\frac{11U}{16L}$≤E≤$\frac{2U}{L}$時，粒子能從右側(cè)磁場的上邊緣cd間離開．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運動軌跡，運用幾何知識，結(jié)合半徑公式和周期公式進行求解．