Question

【題目】如圖所示，豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系xOy中有一根表面粗糙的粗細(xì)均勻的細(xì)桿OMN，它的上端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O處且與x軸相切．OM和MN段分別為彎曲桿和直桿，它們相切于M點(diǎn)，OM段所對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)方程為.一根套在直桿MN上的輕彈簧下端固定在N點(diǎn)，其原長(zhǎng)比桿MN的長(zhǎng)度短．可視為質(zhì)點(diǎn)的開(kāi)孔小球(孔的直徑略大于桿的直徑)套在細(xì)桿上．現(xiàn)將小球從O處以v0＝3m/s的初速度沿x軸的正方向拋出，過(guò)M點(diǎn)后沿桿MN運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧，再經(jīng)彈簧反彈后恰好到達(dá)M點(diǎn)．已知小球的質(zhì)量0.1kg，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.8m，小球與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝，g取10m/s2.求：

(1) 上述整個(gè)過(guò)程中摩擦力對(duì)小球所做的功Wf；

(2) 小球初次運(yùn)動(dòng)至M點(diǎn)時(shí)的速度vM的大小和方向；

(3) 輕質(zhì)彈簧被壓縮至最短時(shí)的彈性勢(shì)能Epm.

Answer 1

【答案】（1）Wf＝－1.25J；（2）vM＝5 m/s，vM的方向與x軸正方向成夾角θ＝53°；（3）Epm＝5.625J

【解析】

(1) 對(duì)題述過(guò)程由動(dòng)能定理得：WG＋Wf＝0－，代入數(shù)據(jù)解得Wf＝－1.25J．

(2) 假設(shè)小球拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得x＝v0t，y＝，代入數(shù)據(jù)解得：y＝x2，與OM曲線(xiàn)方程一致，說(shuō)明小球在OM段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與細(xì)桿OM無(wú)摩擦，做平拋運(yùn)動(dòng)：由動(dòng)能定理WG＝－，代入數(shù)據(jù)解得vM＝5 m/s，由運(yùn)動(dòng)的合成和分解可得vM的方向與x軸正方向夾角的余弦值：cos θ＝＝，即θ＝53°.

(3)小球從M點(diǎn)開(kāi)始直至小球被彈回M點(diǎn)的過(guò)程中，摩擦力所做的功Wf1，－2Wf1＝0－，求得Wf＝－1.25 J，又由Wf＝－μmgxmcos θ得，小球下滑的最大距離xm＝6.25 m

在小球從M點(diǎn)開(kāi)始直至將彈簧壓縮到最短過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：mgxmsin θ＋Wf1＋W彈＝0－，又根據(jù)功能關(guān)系得Epm＝－W彈，代入數(shù)據(jù)解得Epm＝5.625 J．