Question

（2011?溫州二模）天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一顆太陽(yáng)系外行星，其半徑約為地球的2倍，質(zhì)量約為地球的6倍；并環(huán)繞著一顆紅矮星運(yùn)行，公轉(zhuǎn)周期約為地球公轉(zhuǎn)周期的1/200，公轉(zhuǎn)半徑約為日地距離的1/50．設(shè)該行星表面的重力加速度為g₁，地球表面重力加速度為g₂，該紅矮星的質(zhì)量為M₁，太陽(yáng)質(zhì)量為M₂．假定該行星和地球公轉(zhuǎn)軌跡為圓，且不考慮自轉(zhuǎn)．以下估算正確的是（　　）

A．.g₁和g₂的比值約為3：2

B．.g₁和g₂ 的比值約為3：1

C．M₁和M₂的比值約為3：1

D．M₁和M₂的比值約為8：25

Answer 1

分析：（1）星球表面的物體受到的重力等于星球?qū)λ�的萬有引力，求出重力加速度的表達(dá)式，然后求出兩加速度之比．
（2）行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力由萬有引力提供，由牛頓第二定律列方程求出恒星質(zhì)量的表達(dá)式，然后求出紅矮星與太陽(yáng)的質(zhì)量之比．

解答：解：（1）設(shè)某物體質(zhì)量為m，設(shè)行星質(zhì)量為M，行星半徑為r，
物體受到的重力等于萬有引力，即：G

Mm

r2

=mg，則重力加速度g=

GM

r2

，

g1

g2

=

GM行星 r 2 行星

GM地球 r 2 地球

=

M行星 r 2 地球

M地球 r 2 行星

=

6M地球 r 2 地球

M地球(2r地球)2

=

3

2

，故A正確，B錯(cuò)誤；
（2）行星繞紅矮星做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
G

M行星M1

r 2 行星

=M_行星(

2π

T行星

)2r_行星，紅矮星質(zhì)量：M₁=

4π2 r 3 行星

G T 2 行星

；
地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
G

M地球M2

r 2 地球

=M_地球(

2π

T   地球

)2r_地球，太陽(yáng)質(zhì)量：M₂=

4π2 r 3 地球

G T 2 地球

，

M1

M2

=

4π2 r 3 行星 G T 2 行星

4π2 r 3 地球 G T 2 地球

=

r 3 行星 T 2 地球

r 3 行星 T 2 行星

=

( 1 50 r地球)3 T 2 地球

r 3 地球 ( 1 200 T地球)2

=

8

25

，
故C錯(cuò)誤，D正確；
故選AD．

點(diǎn)評(píng)：本題難度不是很大，熟練應(yīng)用萬有引力公式、牛頓定律即可正確解題．