Question

7．如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)管彎成的“S”形軌道固定于豎直平面內(nèi)，其彎曲部分是由兩個(gè)半徑均為 R的半圓平滑對(duì)接而成（圓的半徑遠(yuǎn)大于細(xì)管內(nèi)徑），軌道底端D點(diǎn)與粗糙的水平地面相切．現(xiàn)有一輛質(zhì)量為m的玩具小車以恒定的功率從E點(diǎn)開(kāi)始行駛，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t后，出現(xiàn)了故障，發(fā)動(dòng)機(jī)自動(dòng)關(guān)閉，小車在水平地面繼續(xù)運(yùn)動(dòng)并進(jìn)入“S”形軌道，從軌道的最高點(diǎn)A飛出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C點(diǎn)，C點(diǎn)與下半圓的圓心O等高．已知小車與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，ED之間的距離為x₀，斜面的傾角為30°．求：
（1）小車從A到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）在A點(diǎn)，軌道對(duì)小車作用力的大小和方向；
（3）小車的恒定功率？

Answer 1

分析 （1）小車離開(kāi)A后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直方向的分運(yùn)動(dòng)可以求出小車的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與豎直分速度，然后在C點(diǎn)根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可以求出小車的速度；
（2）小車在A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出求出軌道對(duì)小車的支持力，然后由牛頓第三定律求出小車對(duì)軌道的壓力；
（3）從D到A只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律可以求出D點(diǎn)的速度，從E到D應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出小車的功率．

解答 解：（1）小車從A到C的作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小車從A到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′
豎直方向有3R=$\frac{1}{2}$gt′²
解得$t'=\sqrt{\frac{6R}{g}}$
（2）因小車恰好垂直撞在C點(diǎn)，設(shè)小車在A點(diǎn)時(shí)的速度為v_A
有v_A=gt'•tan30°
解得v_A=$\sqrt{2gR}$
因?yàn)関_A=$\sqrt{2gR}$＞$\sqrt{gR}$，對(duì)外軌有壓力，軌道對(duì)小車的作用力向下
有mg+N=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得N=mg
（3）從D到A的過(guò)程中，機(jī)械能守恒
有$\frac{1}{2}$mv_D²=mg•4R+$\frac{1}{2}$mv_A²
小車從E到D的過(guò)程中   Pt-μmgx₀=$\frac{1}{2}$mv_D²
解得P=$\frac{μmg{x}_{0}+5mgR}{t}$
答：（1）小車從A到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是$\sqrt{\frac{6R}{g}}$；
（2）在A點(diǎn)，軌道對(duì)小車作用力的大小是mg，方向向下；
（3）小車的恒定功率是$\frac{μmg{x}_{0}+5mgR}{t}$．

點(diǎn)評(píng) 小車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程較為復(fù)雜，分析清楚小車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵；對(duì)小車應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解、牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理即可正確解題．