Question

10．如圖（甲），MN、PQ兩條平行的金屬軌道與水平面成θ=30°角固定，M、P之間接電阻箱R，電阻箱的阻值范圍為0～4Ω，導(dǎo)軌所在空間存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5T．質(zhì)量為m的金屬桿ab水平放置在軌道上，并垂直軌道，其接入電路的電阻值為r．金屬棒和軌道間的動摩擦因素為μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，現(xiàn)從靜止釋放桿a　b，測得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關(guān)系如圖（乙）所示．已知軌距為L=2m，重力加速度g=10m/s²，軌道足夠長且電阻不計．

（1）求金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（2）求金屬桿勻速下滑時電阻箱消耗電功率的最大值P_m；
（3）當(dāng)R=4Ω時，求隨著桿ab下滑回路瞬時電功率每增大1W的過程中合外力對桿做的功W．

Answer 1

分析 （1）金屬桿從靜止開始先做加速度減小的變加速運動，最后是勻速運動，受重力、支持力和安培力而平衡，根據(jù)平衡條件推導(dǎo)出 最大速度v_m與R的關(guān)系表達(dá)式結(jié)合圖象分析；
（2）根據(jù)功能關(guān)系求解金屬桿勻速下滑時電阻箱消耗電功率的最大值P_m；
（3）當(dāng)變阻箱R取4Ω，根據(jù)圖象得到最大速度，然后結(jié)合切割公式和電功率表達(dá)式分析．

解答 解：（1）電路的總電阻：R_總=R+r
根據(jù)閉合電路歐姆定律，電流：
  I=$\frac{BLv}{R+r}$
當(dāng)達(dá)到最大速度時桿平衡，有：
  mgsinθ=BIL+μmgcosθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$+μmgcosθ
即：v_m=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{m×10×（sin30°-\frac{\sqrt{3}}{6}×cos30°）×（R+r）}{0．{5}^{2}×{2}^{2}}$=2.5m（R+r）
圖象的斜率 k=1，則得2.5m=1，m=0.4kg
縱軸截距 b=2，則得 2.5mr=2，得 r=2Ω
（2）金屬桿勻速下滑時電流穩(wěn)定，設(shè)為I．
根據(jù)平衡條件得
   mgsinθ=BIL+μmgcosθ
得 I=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）}{BL}$=$\frac{4×（sin30°-\frac{\sqrt{3}}{6}×cos30°）}{0.5×2}$A=1A
故金屬桿勻速下滑時電阻箱消耗電功率的最大值 P_m=I²R_m=1²×4W=4W
（3）由題意：E=BLv，P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$
得 P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$
則△P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R+r}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}^{2}}{R+r}$
由動能定理得：
 W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立得 W=$\frac{m（R+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}△$P=$\frac{0.4×（4+2）}{2×0．{5}^{2}×{2}^{2}}×$1J=1.2J
答：
（1）金屬桿的質(zhì)量m是，0.4kg，阻值r是2Ω；
（2）金屬桿勻速下滑時電阻箱消耗電功率的最大值P_m是4W．
（3）當(dāng)R=4Ω時，隨著桿ab下滑回路瞬時電功率每增大1W的過程中合外力對桿做的功W是1.2J．

點評 本題關(guān)鍵是明確導(dǎo)體棒的受力情況和運動規(guī)律，然后根據(jù)切割公式、牛頓第二定律、電功率表達(dá)式列式分析．