Question

16．在光滑的冰面上放置一個(gè)截面圓弧為四分之一圓的半徑足夠大的光滑自由曲面體，一個(gè)坐在冰車上的小孩手扶一小球靜止在冰面上．已知小孩和冰車的總質(zhì)量為m₁小球的質(zhì)量為m₂，曲面體的質(zhì)量為m₃．某時(shí)刻小孩將小球以v₀=4m/s的速度向曲面體推出（如圖所示）．
（1）求小球在圓弧面上能上升的最大高度；
（2）若m₁=40kg，m₂=2kg小孩將球推出后還能再接到小球，試求曲面質(zhì)量m₃應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球與曲面進(jìn)行研究，由動(dòng)量守恒及機(jī)械能守恒定律可列式求解；
（2）分析小孩與球，球和曲面，由動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律可求得最后的速度，然后求出小孩能接到球的條件．

解答 解：（1）小球與曲面組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
m₂v₀=（m₂+m₃）v，
系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₂v₀²=$\frac{1}{2}$（m₂+m₃）v²+m₂gh，
解得：h=$\frac{{m}_{3}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{2}+{m}_{3}）g}$；
（2）小孩推出球的過程小孩與球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
m₂v₀-m₁v₁=0，
球與曲面組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
m₂v₀=-m₂v₂+m₃v₃，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₂v₀²=$\frac{1}{2}$m₂v₂²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²，
解得：v₂=$\frac{{m}_{3}-{m}_{2}}{{m}_{3}+{m}_{2}}$v₀，；
如果小孩將球推出后還能再接到球，則需要滿足：v₂＞v₁，
解得：m₃＞$\frac{42}{19}$kg；
答：（1）小球在圓弧面上能上升的最大高度為$\frac{{m}_{3}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{2}+{m}_{3}）g}$；
（2）若m₁=40kg，m₂=2kg小孩將球推出后還能再接到小球，曲面質(zhì)量m₃應(yīng)滿足的條件是：m₃＞$\frac{42}{19}$kg．

點(diǎn)評(píng) 本題為多過程動(dòng)量守恒問題，要注意正確選擇研究對(duì)象及過程，明確動(dòng)量守恒的條件，并能正確應(yīng)用相應(yīng)規(guī)律求解．