Question

4．如圖，一個質量為4m中間呈半球形空腔的滑塊，靜止放置在水平地面上，質量為m的質點從半球形空腔的邊緣靜止釋放，忽略一切摩擦．
（1）若滑塊固定，求質點滑到空腔最底部時的速率及其對滑塊的正壓力；
（2）若滑塊不固定，求質點滑到空腔最底部時的速率及其對滑塊的正壓力．

Answer 1

分析 （1）若滑塊固定，m下滑的過程中機械能守恒，由此即可求出質點滑到空腔最底部時的速率，由牛頓第二定律即可求出其對滑塊的正壓力；
（2）若滑塊不固定，質點下滑的過程中，質點與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，同時系統(tǒng)的機械能守恒，由功能關系與動量守恒定律，結合牛頓第二定律即可求出滑到空腔最底部時的速率及其對滑塊的正壓力．

解答 解：（1）若滑塊固定，質點下滑的過程中機械能守恒，設半圓軌道的半徑為R，所以：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   ①
得：v₀=$\sqrt{2gR}$
又：$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}={F}_{N}-mg$   ②
聯立①②得：F_N=3mg
根據牛頓第三定律，質點對對滑塊的正壓力是3mg；
（2）若滑塊不固定，質點下滑的過程中，質點與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，選取向右為正方向，則滑塊向左運動，質點m向右運動，所以：
mv₁+4m•v₂=0  ③
又由機械能守恒，得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•4m{v}_{2}^{2}$   ④
聯立③④得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{8}{5}gR}$
在最低點：${F}_{N}′-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
聯立得：${F}_{N}′=\frac{13}{5}mg$
根據牛頓第三定律，質點對滑塊的正壓力是$\frac{13}{5}mg$
答：（1）若滑塊固定，質點滑到空腔最底部時的速率是$\sqrt{2gR}$，其對滑塊的正壓力是3mg；
（2）若滑塊不固定，質點滑到空腔最底部時的速率是$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，其對滑塊的正壓力是$\frac{13}{5}mg$．

點評 本題考查了動量守恒定律和能量守恒定律的綜合，知道當質點 在滑塊的最低點時，質點與滑塊的速度方向相反是解答的關鍵．