Question

14．2013年年底，搭載著嫦娥三號衛(wèi)星的長征三號丙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．已知地球半徑約是月球半徑的4倍，地球質(zhì)量約是月球質(zhì)量的81倍，地球表面重力加速度g取10m/s²，地球半徑R=6.4×10³ km．
（1）若某物體在地面上受到的重力為160N，將它放置在探月衛(wèi)星嫦娥三號中，在衛(wèi)星以加速度a=$\frac{g}{2}$ 隨火箭加速上升的過程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物間的相互擠壓力為90N時，衛(wèi)星距離地球表面有多遠(yuǎn)？
（2）設(shè)想宇航員在月球表面上做自由落體實驗，某物體從離月球表面20m處自由下落，約經(jīng)多長時間落地？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物間的相互擠壓力為90N時，由牛頓第二定律求出此位置的重力加速度．根據(jù)重力等于萬有引力，列式求解衛(wèi)星的高度．
（2）根據(jù)重力等于萬有引力列式，求出月球表面重力加速度，再由自由落體運動的規(guī)律求解時間．

解答 解：（1）設(shè)衛(wèi)星離地面的高度為h，物體受到的支持力為F_N．
根據(jù)牛頓第二定律，有 F_N-mg′=m•$\frac{g}{2}$，
在h高度處，有 mg′=G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$
在地球表面處，有 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立以上各式得 h=1.92×10⁴ km．
（2）設(shè)月球表面重力加速度為g₁，月球半徑為R₁，物體自由下落高度為H．
在地球表面處，則 G$\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}$=m₁g，
在月球表面處，G$\frac{{M}_{1}{m}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$=m₁g₁，
又R₁=$\frac{R}{4}$，M₁=$\frac{M}{81}$．
聯(lián)立以上各式，
解得 g₁=g$\frac{{M}_{1}}{M}$•（$\frac{R}{{R}_{1}}$）²=1.98 m/s²，
由H=$\frac{1}{2}$g₁t²，解得 t=4.5 s．
答：
（1）衛(wèi)星距離地球表面有1.92×10⁴ km遠(yuǎn)．　
（2）物體從離月球表面20m處自由下落，約經(jīng)4.5 s長時間落地．

點評 由萬有引力等于重力，得到g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，此式常常稱為黃金代換式，是求星球表面重力加速度常用的思路．