Question

17．如圖所示，在絕緣水平面上固定有兩根導(dǎo)軌，分別為直導(dǎo)軌（y=-2L，x≥0）和正弦曲線形導(dǎo)軌（y=Lsin$\frac{πx}{L}$，x≥0）．一質(zhì)量為m的金屬棒MN放在兩導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌的左端接有一電阻為R的定值電阻，不計其他電阻．x≥0的整個空間內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場（未畫出）．t=0時刻，對棒施加一沿x軸正方向的水平外力F使棒從x=0處由靜止開始做加速度大小為a的勻加速直線運動，棒始終與x軸垂直且與兩導(dǎo)軌接觸良好，不計一切摩擦．求：
（1）棒從x=0處運動到x=2L處的過程中通過電阻R的電荷量q；
（2）棒在t時刻受到的水平外力F的大小．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒切割磁感線做勻加速直線運動，導(dǎo)體棒切割時相當(dāng)于電源，由法拉第電磁感應(yīng)定律可以求出感應(yīng)電動勢的大小，運用閉合電路的歐姆定律算出電流，從而求出通過電阻R的電量
（2）對導(dǎo)體棒，根據(jù)牛頓第二定律列出方程求出拉力大小

解答 解：（1）棒從x=0處運動到x=2L處過程中
平均感應(yīng)電動勢$\overline{E}=\frac{B×4{L}^{2}}{△t}$
平均感應(yīng)電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$
通過電阻R的電荷量q=$\overline{I}$△t
得q=$\frac{4B{L}^{2}}{R}$
（2）棒在t時刻運動的速度v=at
發(fā)生的位移x=$\frac{1}{2}$at²
感應(yīng)電動勢E=B（2L+Lsin$\frac{πx}{L}$）v
感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R}$安培力F_A=BI（2L+Lsin$\frac{πx}{L}$）
根據(jù)牛頓第二定律有F-F_A=ma
整理可得F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$（2+sin$\frac{πa{t}^{2}}{2L}$）²+ma．
答：（1）棒從x=0處運動到x=2L處的過程中通過電阻R的電荷量q為$\frac{4B{L}_{\;}^{2}}{R}$；
（2）棒在t時刻受到的水平外力F的大小$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}at}{R}（2+sin\frac{πa{t}_{\;}^{2}}{2L}）_{\;}^{2}+ma$．

點評 導(dǎo)體棒在磁場中切割時可將棒看成電源，同時求通過某截面的電量用電流的平均值．