Question

4．假設(shè)人類登上火星后，在火星上進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)，在固定的豎直光滑圓軌道內(nèi)部，一小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最高點(diǎn)的速度為v，軌道半徑為r．若已知火星的半徑為R，引力常量為G，則火星質(zhì)量為（　　）

• A． $\frac{{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$
• B． $\frac{5{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$
• C． $\frac{{v}^{2}{R}^{3}}{G{r}^{2}}$
• D． $\frac{5{v}^{2}{R}^{3}}{G{r}^{2}}$

Answer 1

分析 小球在最高點(diǎn)的速度滿足火星的引力提u供其沿圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得火星表面的重力加速度；由火星表面的物體的重力約等于物體與火星的萬(wàn)有引力可得火星的質(zhì)量．

解答 解：設(shè)小球的質(zhì)量為m，火星的質(zhì)量為M，因小球在最高點(diǎn)恰好完成圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)最高點(diǎn)時(shí)小球速度為v，由牛頓第二定律得：
mg=$\frac{{mv}^{2}}{r}$
得g=$\frac{{v}^{2}}{r}$
對(duì)于任一月球表面的物體m′，萬(wàn)有引力等于其重力，即：
m′g=$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$
由③④得，M=$\frac{{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$   選項(xiàng)A正確
故選：A

點(diǎn)評(píng) 在任意星體的表面都有物體的萬(wàn)有引力等于重力這一等式常用，所謂第一宇宙速度即是萬(wàn)有引力恰提供其繞星球表面運(yùn)行的向心力時(shí)的速度，此時(shí)軌道半徑就是星球的半徑．