Question

（2009?山東）如圖甲所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，第一四象限有磁場，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子在0～3t時間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極邊緣的影響）．
已知t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時刻經(jīng)極板邊緣射入磁場．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）

（1）求電壓U的大�。�
（2）求

1

2

t₀時進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑．
（3）何時刻進入兩極板的帶電粒子在磁場中的運動時間最短？求此最短時間．

Answer 1

分析：（1）t=0時刻進入兩極板的帶電粒子在電場中做類平拋運動．由題知道x方向位移為l，y方向位移為

l

2

，運用運動的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求解U．
（2）

1

2

t0時刻進入兩極板的帶電粒子，前

1

2

t0時間在電場中偏轉(zhuǎn)，后

1

2

t0時間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運動．根據(jù)運動學規(guī)律求出y方向分速度與x方向分速度，再合成求出
粒子進入磁場時的速度，則牛頓定律求出粒子在磁場中做圓周運動的半徑．
（3）帶電粒子在磁場中運動的周期一定，當軌跡的圓心角最小時，在磁場中運動的時間最短．

解答：解：（1）t=0時刻進入兩極板的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運動，t₀時刻剛好從極板邊緣射出，
則有 y=

1

2

l，x=l
由E=

U0

l

①，Eq=ma②，y=

1

2

l=

1

2

a

t

2 0

③
聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為U0=

ml2

q t 2 0

④．
  （2）

1

2

t0時刻進入兩極板的帶電粒子，前

1

2

t0時間在電場中偏轉(zhuǎn)，后

1

2

t0時間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運動．
   由題，帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為 v_x=v0=

l

t0

    ⑤
   帶電粒子離開電場時沿y軸負方向的分速度大小為vy=a?

1

2

t0⑥
   帶電粒子離開電場時的速度大小為v=

v 2 x + v 2 y

⑦
   設(shè)帶電粒子離開電場進入磁場做勻速圓周運動的半徑為R，
   則有Bvq=m

v2

R

⑧，聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式
           解得R=

5 ml

2qBt0

⑨
   （3）在t=2t₀時刻進入兩極板的帶電粒子，在電場中做類平拋運動的時間最長，飛出極板時速度方向與磁場邊界的夾角最小，而根據(jù)軌跡幾何知識可知，軌跡的圓心角等于粒子射入磁場時速度方向與邊界夾角的2倍，所以在t=2t₀時刻進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間最短．
   帶電粒子離開磁場時沿y軸正方向的分速度為v_y′=at₀⑩，
   設(shè)帶電粒子離開電場時速度方向與y軸正方向的夾角為α，則tanα=

v0

v ′ y

，
   聯(lián)立③⑤⑩式解得α=

π

4

，帶電粒子在磁場運動的軌跡圖如圖所示，圓弧所對的圓心角為2α=

π

2

，
   所求最短時間為tmin=

1

4

T，
   帶電粒子在磁場中運動的周期為T=

2πm

Bq

，聯(lián)立以上兩式解得tmin=

πm

2Bq

．

點評：考查了考生分析、推理和綜合能力，試題涉及的知識點較多，但只要認真分析物理過程，找準物理過程對應的物理規(guī)律，還是容易求解．