Question

2．如圖所示，間距為L(zhǎng)，電阻不計(jì)的兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ（足夠長(zhǎng)）被固定在同一水平面內(nèi)，質(zhì)量均為m，電阻均為R的兩根相同導(dǎo)體棒a、b垂直于導(dǎo)軌放在導(dǎo)軌上，一根輕繩繞過(guò)定滑輪后沿兩金屬導(dǎo)軌的中線與a棒連連，其下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為M的物體C，整個(gè)裝置放在方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，開(kāi)始時(shí)使a、b、C都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)釋放C，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，C的速度為v₁，b的速度為v₂．不計(jì)一切摩擦，兩棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，重力加速度為g，求：
（1）t時(shí)刻a的加速度值；
（2）比較t時(shí)刻a、b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總功率與安培力做功的功率間的關(guān)系；
（3）從開(kāi)始到t時(shí)刻a、b間距增加量x為多少？
（4）設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，最終a、c間細(xì)繩的拉力．

Answer 1

分析 （1）由F=BIL求出棒a、b所受的安培力大小，根據(jù)牛頓第二定律分別研究棒ab和A物體，可求解加速度．
（2）單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉(zhuǎn)化為b棒的動(dòng)能，求出總功率和熱功率再求比值即可．
（3）從開(kāi)始到t時(shí)間內(nèi)對(duì)b根據(jù)動(dòng)量定理通過(guò)回路的電荷量，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律可得$q=\frac{△∅}{2R}=\frac{BLx}{2R}$，由此解出x；
（4）最終穩(wěn)定時(shí)二者的加速度相同，以b、a為研究對(duì)象求解加速度大小，以C為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律繩子拉力．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，t時(shí)刻回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
$E=\frac{△Φ}{△t}=BL（{v}_{1}-{v}_{2}）$  
回路中感應(yīng)電流  $I=\frac{E}{2R}$    
根據(jù)牛頓第二定律：
對(duì)a有：T-BIL=ma              
對(duì)C有：Mg-T=Ma                  
聯(lián)立以上各式解得：$a=\frac{2MgR-{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{2R（M+m）}$；    
（2）單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉(zhuǎn)化為b棒的動(dòng)能，所以，t時(shí)刻閉合回路的電功率等于a棒克服安培力做功的功率，即
P_總=BIl•v₁
聯(lián)立得：${P}_{總}(cāng)=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）•{v}_{1}}{2R}$
安培力對(duì)b做功的功率：P_熱=$\frac{{E}^{2}}{2R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2R}$；
所以$\frac{{P}_{總}(cāng)}{{P}_{熱}}=\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}-{v}_{2}}$，
即：P_總=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}-{v}_{2}}{P}_{熱}$；
（3）從開(kāi)始到t時(shí)間內(nèi)對(duì)b根據(jù)動(dòng)量定理可得：$BL\overline{I}t=m{v}_{2}$，
而$\overline{I}t=q$，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律可得：$q=\frac{△∅}{2R}=\frac{BLx}{2R}$
聯(lián)立解得：$x=\frac{2mR{v}_{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）最終穩(wěn)定時(shí)二者的加速度相同，設(shè)為a′，
以b為研究對(duì)象，有：BI′L=ma′，
以a和C為研究對(duì)象，有：Mg-BI′L=（m+M）a′
解得：a′=$\frac{Mg}{M+2m}$；
以C為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律可得：Mg-T=Ma′，
解得：T=$\frac{2Mmg}{M+2m}$．
答：（1）t時(shí)刻a的加速度值$\frac{2MgR-{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{2R（M+m）}$；
（2）比較t時(shí)刻a、b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總功率與安培力做功的功率間的關(guān)系為P_總=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}-{v}_{2}}{P}_{熱}$；
（3）從開(kāi)始到t時(shí)刻a、b間距增加量x為$\frac{2mR{v}_{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，最終a、c間細(xì)繩的拉力為$\frac{2Mmg}{M+2m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了法拉第電磁感應(yīng)定律以及電磁感應(yīng)中的能量守恒．關(guān)鍵理清導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的定律進(jìn)行求解．對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．