Question

7．萬有引力和庫(kù)侖力有類似的規(guī)律，有很多可以類比的地方．已知引力常量為G，靜電力常量為k．
（1）用定義靜電場(chǎng)強(qiáng)度的方法來定義與質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)相距r處的引力場(chǎng)強(qiáng)度E_G的表達(dá)式；
（2）質(zhì)量為m、電荷量為e的電子在庫(kù)侖力的作用下以速度v繞位于圓心的原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，該模型與太陽系內(nèi)行星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)相似，被稱為“行星模型”，如圖（1）．已知在一段時(shí)間內(nèi)，電子走過的弧長(zhǎng)為s，其速度方向改變的角度為θ（弧度）．求出原子核的電荷量Q；
（3）如圖（2），用一根蠶絲懸掛一個(gè)金屬小球，質(zhì)量為m，電荷量為-q．懸點(diǎn)下方固定一個(gè)絕緣的電荷量為+Q的金屬大球，蠶絲長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩金屬球球心間距離為R．小球受到電荷間引力作用在豎直平面內(nèi)做小幅振動(dòng)．不計(jì)兩球間萬有引力，求出小球在庫(kù)侖力作用下的振動(dòng)周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度定義方法，即可求解；
（2）依據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合庫(kù)侖定律與引力定律，即可求解；
（3）根據(jù)庫(kù)侖定律，從而求得等效重力加速度，再依據(jù)振動(dòng)周期公式，即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式方法，那么質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)相距r處的引力場(chǎng)強(qiáng)度E_G的表達(dá)式：E_G=$\frac{F}{m}$=$\frac{\frac{GMm}{{r}^{2}}}{m}$=$\frac{GM}{{r}^{2}}$；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，依據(jù)庫(kù)侖引力提供向心力，則有：$k\frac{Qe}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$，
由幾何關(guān)系，得，$R=\frac{s}{θ}$，
解得：$Q=\frac{{m{v^2}s}}{θke}$；
（3）因庫(kù)侖力：$F=k\frac{Qq}{R^2}$，
等效重力加速度：$g'=\frac{F}{m}=k\frac{Qq}{{m{R^2}}}$，
小球在庫(kù)侖力作用下的振動(dòng)周期：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g'}}=2πR\sqrt{\frac{Lm}{kQq}}$．
答：（1）質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)相距r處的引力場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式E_G=$\frac{GM}{{r}^{2}}$；
（2）原子核的電荷量$\frac{m{v}^{2}s}{θke}$；
（3）小球在庫(kù)侖力作用下的振動(dòng)周期$\frac{kQq}{m{R}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查電場(chǎng)強(qiáng)度的定義法，掌握牛頓第二定律，庫(kù)侖定律與萬有引力定律的內(nèi)容，注意等效重力加速度的理解，及振動(dòng)周期的公式的物理量的含義．