Question

16．如圖所示，金屬導(dǎo)軌MNC和PQD，MN與PQ平行且間距為L，所在平面與水平面夾角為α，N、Q連線與MN垂直，M、P間接有阻值為R的電阻；光滑直導(dǎo)軌NC和QD在同一水平面內(nèi)，與NQ的夾角都為銳角θ．均勻金屬棒ab和ef質(zhì)量均為m，長均為L，ab棒初始位置在水平導(dǎo)軌上與NQ重合；ef棒垂直放在傾斜導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ（μ較小），由導(dǎo)軌上的小立柱1和2阻擋而靜止．空間有方向豎直的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出）．兩金屬棒與導(dǎo)軌保持良好接觸．不計(jì)所有導(dǎo)軌和ab棒的電阻，ef棒的阻值為R，最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，忽略感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場，重力加速度為g．
（1）若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，給ab棒一個(gè)垂直于NQ、水平向右的速度v₁，在水平導(dǎo)軌上沿運(yùn)動方向滑行一段距離后停止，ef棒始終靜止，求此過程ef棒上產(chǎn)生的熱量；
（2）在（1）問過程中，ab棒滑行距離為d，求通過ab棒某橫截面的電量；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平導(dǎo)軌上向右勻速運(yùn)動，并在NQ位置時(shí)取走小立柱1和2，且運(yùn)動過程中ef棒始終靜止．求此狀態(tài)下最強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度及此磁場下ab棒運(yùn)動的最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒定律，求解ef棒上產(chǎn)生的熱量；
（2）由幾何知識求出回路的面積變化，根據(jù)楞次定律和歐姆定律，計(jì)算通過ab棒某橫截面的電量；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律計(jì)算電動勢的大小，根據(jù)棒的受力計(jì)算最強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度及此磁場下ab棒運(yùn)動的最大距離．

解答 解：（1）ab棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動的過程，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒定律，有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=Q_R+Q_ef     ①
由于金屬棒ab和ef的電阻相等，電阻R和ef棒中產(chǎn)生的焦耳熱相等，則 Q_R=Q_ef     ②
由①②式聯(lián)立解得ef棒上產(chǎn)生的熱量為：Q_ef=$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$
（2）設(shè)在ab棒滑行距離為d時(shí)所用時(shí)間為t，其示意圖如下圖所示：

該過程中回路變化的面積為：△S=$\frac{1}{2}$[L+（L-2dcotθ）]d  ③
在該過程中，回平均感應(yīng)電動勢為：$\overline{E}$=$\frac{B△S}{t}$④
流經(jīng)ab棒平均電流為：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{\frac{R}{2}}$     ⑤
流經(jīng)ab棒某橫截面的電量為：q=$\overline{I}$t         ⑥
由③④⑤⑥式聯(lián)立解得：q=$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$
（3）當(dāng)ab棒滑行x距離時(shí)，感應(yīng)電動勢為：e=B（L-2xcotθ）v₂ ⑦
流經(jīng)ef棒的電流為：i=$\frac{e}{R}$                    ⑧
ef棒所受安培力為：F=iLB                   ⑨
由⑦⑧⑨式聯(lián)立解得：F=$\frac{{B}^{2}L{v}_{2}}{R}$（L-2xcotθ）             ⑩

由⑩式可知，當(dāng)x=0且B取最大值，即B=B_m時(shí)，F(xiàn)有最大值F_m，ef棒受力示意圖如圖所示：
沿導(dǎo)軌方向上有：F_mcosα=mgsinα+f_m⑪
在垂直于導(dǎo)軌方向上有：F_N=mgcosα+F_msinα⑫
根據(jù)滑動摩擦定律和題設(shè)條件有：f_m=μF_N⑬
由⑩⑪⑫⑬式聯(lián)立解得：B_m=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mgR（sinα+μcosα）}{（cosα-μsinα）{v}_{2}}}$
顯然此時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向豎直向上或豎直向下均可

由⑩式可知，當(dāng)B=B_m時(shí)，F(xiàn)隨x的增大而減小，即當(dāng)F最小為F_min時(shí)，x有最大值為x_m，此時(shí)ef棒受力示意圖如圖所示：
在沿導(dǎo)軌方向上有：F_mincosα+f_m=mgsinα⑭
在垂直于導(dǎo)軌方向上有：F_N=mgcosα+F_minsinα⑮
由⑩⑬⑭⑮式聯(lián)立解得：x_m=$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}^{2}）sinαcosα+μ}$
答：
（1）此過程ef棒上產(chǎn)生的熱量是$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$．
（2）通過ab棒某橫截面的電量是$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$．
（3）此狀態(tài)下最強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度是$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mgR（sinα+μcosα）}{（cosα-μsinα）{v}_{2}}}$，方向豎直向上或豎直向下均可，此磁場下ab棒運(yùn)動的最大距離是$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}^{2}）sinαcosα+μ}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是分析清楚棒的受力的情況，根據(jù)平衡條件找出磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式．要知道力學(xué)與電磁感應(yīng)聯(lián)系的橋梁是安培力，要能熟練運(yùn)用法拉第定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式．