Question

在真空中建立一坐標(biāo)系，以水平向右為軸正方向，豎直向下為軸正方向，軸垂直紙面向里（圖復(fù)17-5）．在的區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，，磁場的磁感強(qiáng)度的方向沿軸的正方向，其大小．今把一荷質(zhì)比的帶正電質(zhì)點(diǎn)在，，處靜止釋放，將帶電質(zhì)點(diǎn)過原點(diǎn)的時刻定為時刻，求帶電質(zhì)點(diǎn)在磁場中任一時刻的位置坐標(biāo)．并求它剛離開磁場時的位置和速度．取重力加速度。

Answer 1

解法一：

帶電質(zhì)點(diǎn)靜止釋放時，受重力作用做自由落體運(yùn)動，當(dāng)它到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時，速度為                              （1）

方向豎直向下．帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場后，除受重力作用外，還受到洛倫茲力作用，質(zhì)點(diǎn)速度的大小和方向都將變化，洛倫茲力的大小和方向亦隨之變化．我們可以設(shè)想，在帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)時，給質(zhì)點(diǎn)附加上沿軸正方向和負(fù)方向兩個大小都是的初速度，由于這兩個方向相反的速度的合速度為零，因而不影響帶電質(zhì)點(diǎn)以后的運(yùn)動．在時刻，帶電質(zhì)點(diǎn)因具有沿軸正方向的初速度而受洛倫茲力的作用。

                                                           （2）

其方向與重力的方向相反．適當(dāng)選擇的大小，使等于重力，即

                                                          （3）

                                               (4)

只要帶電質(zhì)點(diǎn)保持（4）式?jīng)Q定的沿軸正方向運(yùn)動，與重力的合力永遠(yuǎn)等于零．但此時，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電質(zhì)點(diǎn)還具有豎直向下的速度和沿軸負(fù)方向的速度，二者的合成速度大小為

                                             （5）

方向指向左下方，設(shè)它與軸的負(fù)方向的夾角為，如圖復(fù)解17-5-1所示，則

                   

                               （6）

因而帶電質(zhì)點(diǎn)從時刻起的運(yùn)動可以看做是速率為，沿軸的正方向的勻速直線運(yùn)動和在平面內(nèi)速率為的勻速圓周運(yùn)動的合成．圓周半徑

                      （7）

帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場瞬間所對應(yīng)的圓周運(yùn)動的圓心位于垂直于質(zhì)點(diǎn)此時速度的直線上，由圖復(fù)解17-5-1可知，其坐標(biāo)為

                                              （8） 

圓周運(yùn)動的角速度

                                                 （9）

由圖復(fù)解17-5-1可知，在帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場區(qū)域前的任何時刻，質(zhì)點(diǎn)位置的坐標(biāo)為

                                         （10）

                                              （11）

式中、、、、、已分別由（4）、（7）、（9）、（6）、（8）各式給出。

帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)磁場區(qū)域下邊界時，，代入（11）式，再代入有關(guān)數(shù)值，解得

                                                      （12）

將（12）式代入（10）式，再代入有關(guān)數(shù)值得

                                                         （13）

所以帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場下邊界時的位置的坐標(biāo)為

                                           （14）

帶電質(zhì)點(diǎn)在磁場內(nèi)的運(yùn)動可分解成一個速率為的勻速圓周運(yùn)動和一個速率為的沿軸正方向的勻速直線運(yùn)動，任何時刻，帶電質(zhì)點(diǎn)的速度便是勻速圓周運(yùn)動速度與勻速直線運(yùn)動的速度的合速度．若圓周運(yùn)動的速度在方向和方向的分量為、，則質(zhì)點(diǎn)合速度在方向和方向的分速度分別為

          

                                         （15）

                                                         （16）

雖然，由（5）式?jīng)Q定，其大小是恒定不變的，由（4）式?jīng)Q定，也是恒定不變的，但在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程中因的方向不斷變化，它在方向和方向的分量和都隨時間變化，因此和也隨時間變化，取決于所考察時刻質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動速度的方向，由于圓周運(yùn)動的圓心的坐標(biāo)恰為磁場區(qū)域?qū)挾鹊囊话�，由對稱性可知，帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場下邊緣時，圓周運(yùn)動的速度方向應(yīng)指向右下方，與軸正方向夾角，故代入數(shù)值得

               

               

將以上兩式及（5）式代入（15）、（16）式，便得帶電質(zhì)點(diǎn)剛離開磁場區(qū)域時的速度分量，它們分別為

                                                     （17）

                                                     （18）

速度大小為

                （19）

設(shè)的方向與軸的夾角為，如圖復(fù)解17-5-2所示，則

       

得                              （20）

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分

（4）式5分，求得（5）、（6）式各給3分，求得（10）、（11）式各給2分，（14）式3分，（19）式5分，求得（20）式再給2分。

解法二：

若以帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)的時刻作為起始時刻（），則質(zhì)點(diǎn)的初速度為

                                         （1¢）

方向沿軸正方向．進(jìn)入磁場區(qū)后，帶電質(zhì)點(diǎn)將受到洛倫茲力作用，洛倫茲力在方向的分力取決于質(zhì)點(diǎn)在方向的分速度，因此質(zhì)點(diǎn)動量在方向的分量的增量為

                               （2¢）

是帶電質(zhì)點(diǎn)在時間內(nèi)沿方向的位移，質(zhì)點(diǎn)在磁場中運(yùn)動的整個過程中，此式對每一段時間都成立，所以在到時間內(nèi)方向的動量的改變?yōu)?/p>

               

因初始時刻（），帶電質(zhì)點(diǎn)在軸方向的動量為零，其位置在原點(diǎn)，，因而得

               

即                                                        （3¢）

    當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)具有方向的速度后，便立即受到沿負(fù)方向的洛倫茲力的作用．根據(jù)牛頓第二定律，在方向上有加速度

                                                    （4¢）

將（3¢）式代入（4¢）式，得

                                         （5¢）

令                                                        （6¢）

式中

                                       （7¢）

即在方向作用于帶電質(zhì)點(diǎn)的合力

               

其中           

是準(zhǔn)彈性力，在作用下，帶電質(zhì)點(diǎn)在方向的運(yùn)動是簡諧振動，振動的圓頻率

                                             （8¢）

隨時間變化的規(guī)律為

                                                   （9¢）      

或

                                               （10¢）

與是待求的常量，質(zhì)點(diǎn)的簡諧運(yùn)動可以用參考圓來描寫，以所考察的簡諧運(yùn)動的振幅為半徑作一圓，過圓心作一直角坐標(biāo)．若有一質(zhì)點(diǎn)沿此圓周做勻速率圓周運(yùn)動，運(yùn)動的角速度等于所考察簡諧運(yùn)動的角頻率，且按逆時針方向轉(zhuǎn)動，在時刻，點(diǎn)的在圓周上的位置恰使連線與軸的夾角等于（9¢）式中的常量，則在任意時刻，與的連線與軸的夾角等于，于是連線在軸上的投影即為（9¢）式所示的簡諧振動，將軸平行下移，連線在軸的投影即如（10¢）式所示（參看圖復(fù)解17-5-3），點(diǎn)做圓周運(yùn)動的速度大小，方向與垂直，速度的分量就是帶電質(zhì)點(diǎn)沿軸做簡諧運(yùn)動的速度，即

                                                （11¢）

（10¢）和（11¢）兩式中的和可由下面的方法求得：因為已知在時，帶電質(zhì)點(diǎn)位于處，速度，把這個條件代入（10¢）式與（11¢）式得

               

               

解上面兩式，結(jié)合(1¢)、(8¢)式，注意到振幅總是正的，故得
                                                            (12¢)

                                                          (13¢)

把（10¢）式代入(3¢)式，便得帶電質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動的速度

                                             (14¢)

（14¢）式表示帶電質(zhì)點(diǎn)在方向上的速度是由兩個速度合成的，即沿方向的勻速運(yùn)動速度和方向的簡諧振動速度的合成，帶電質(zhì)點(diǎn)沿方向的勻速運(yùn)動的位移

                                                           （15¢）

由沿方向的簡諧振動速度可知，沿方向振動位移的振幅等于速度的最大值與角頻率的比值（參看圖復(fù)解17-5-3），即等于．由參考圓方法可知，沿方向的振動的位移具有如下的形式

               

它可能是，亦可能是．在本題中，時刻，應(yīng)為零，故前一表示式不符合題意．后一表示式中，應(yīng)取的值為，故有

                                          （16¢）

帶電質(zhì)點(diǎn)在方向的合位移，由（15¢）、（16¢）式，得

                      （17¢）

（17¢）、（10¢）、（14¢）和（11¢）式分別給出了帶電質(zhì)點(diǎn)在離開磁場區(qū)域前任何時刻的位置坐標(biāo)和速度的分量和分量，式中常量、、、已分別由（8¢）、（13¢）、（12¢）和（7¢）式給出．
    當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)達(dá)到磁場的下邊界時，

                                      （18¢）

將與（10¢）式有關(guān)的數(shù)據(jù)代入（10¢）式，可解得

                                            （19¢）

代入（17¢）式，得

                                           （20¢）

將（19¢）式分別代入（14¢）式與（11¢）式，得

                     

速度大小為

                                                   （21¢）

速度方向為

                                                       （22¢）

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分

（7¢）式2分，（8¢）式3分，（10¢）式2分，（11¢）式2分，（12¢）式3分，（13¢）式3分，（14¢）式2分，（17¢）式3分，（20¢）式3分，（21¢）式1分，（22¢）式1分。