Question

19．如圖所示，AB是傾角為θ=30°的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R，一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可以看做質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程；
（2）最終當(dāng)物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力；
（3）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′至少多大．

Answer 1

分析 （1）滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)，對(duì)整個(gè)過(guò)程，利用動(dòng)能定理求總路程；
（2）對(duì)B→E過(guò)程，由動(dòng)能定理求出物體通過(guò)E點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求物體對(duì)軌道的壓力；
（3）物體剛好到最高點(diǎn)D時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出D點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求解即可．

解答 解：（1）對(duì)整體過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
   mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0        
所以物體在AB軌道上通過(guò)的總路程  s=$\frac{R}{μ}$．
（2）最終物體以B（還有B關(guān)于OE的對(duì)稱點(diǎn)）為最高點(diǎn)，在圓弧底部做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，對(duì)B→E過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
  mgR（1-cos θ）=$\frac{1}{2}$mv_E²  ①
在E點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$ ②
由①②得 F_N=（3-2cos θ）mg=$（3-\sqrt{3}）mg$
（3）物體剛好到D點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$  ③
對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理得：
  mgL′sin θ-μmgcos θ•L′-mgR（1+cos θ）=$\frac{1}{2}$mv_D² ④
由③④得：L′=$\frac{3+2cosθ}{2（sinθ-μcosθ）}$•R=$\frac{{（3+\sqrt{3}）R}}{{1-\sqrt{3}μ}}$
答：
（1）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程是$\frac{R}{μ}$；
（2）最終當(dāng)物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力是$（3-\sqrt{3}）mg$；
（3）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′至少是$\frac{{（3+\sqrt{3}）R}}{{1-\sqrt{3}μ}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合應(yīng)用了動(dòng)能定理求摩擦力做的功、圓周運(yùn)動(dòng)及圓周運(yùn)動(dòng)中能過(guò)最高點(diǎn)的條件，要知道滑動(dòng)摩擦做功與總路程有關(guān)，小球剛到圓軌道最高點(diǎn)時(shí)重力等于向心力．