Question

20．如圖所示，在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)方向相反且都垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在以直徑A₂A₄為邊界的兩個(gè)半圓形區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中，直徑A₂A₄與A₁A₃的夾角為60°，一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子以某一速度從Ⅰ區(qū)的邊緣點(diǎn)A₁處沿與A₁A₃成30°角的方向射入磁場(chǎng)，隨后該粒子以垂直于A₂A₄的方向經(jīng)過(guò)圓心O進(jìn)入Ⅱ區(qū)，最后再?gòu)腁₄處射出磁場(chǎng)．已知該粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為t，（忽略粒子重力），求：
（1）畫出粒子在磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)軌跡；
（2）粒子在磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ中的軌道半徑r₁和r₂比值；
（3）Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₁和B₂．

Answer 1

分析 由題意可知粒子在兩磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系可知兩圓的半徑，則由洛侖茲力充當(dāng)向心力可列出方程；再根據(jù)在兩磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角可求得在兩磁場(chǎng)中的時(shí)間，則由兩粒子在兩磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間可列出關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式，聯(lián)立可解得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）設(shè)粒子的入射速度為v，已知粒子帶正電，故它在磁場(chǎng)中先順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，再逆時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，最后從A₄點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
（2）用B₁、B₂、R₁、R₂、T₁、T₂分別表示在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)Ⅱ磁感應(yīng)強(qiáng)度、軌道半徑和周期
qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$…①
qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$…②
T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$…③
T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$…④
設(shè)圓形區(qū)域的半徑為r，如答圖5所示，已知帶電粒子過(guò)圓心且垂直A₃A₄進(jìn)入Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)，
連接A₁A₂，△A₁OA₂為等邊三角形，A₂為帶電粒子在Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，
其半徑R₁=A₁A₂=OA₂=r…⑤
圓心角∠A₁A₂O=60°，帶電粒子在Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{1}{6}$T₁…⑥
帶電粒子在Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在OA₄的中點(diǎn)，即R=$\frac{1}{2}$r…⑦
（3）在Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂=$\frac{1}{2}$T₂…⑧
帶電粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的總時(shí)間t=t₁+t₂ …⑨
由以上各式可得：B₁=$\frac{5πm}{6qt}$…⑩
B₂=$\frac{5πm}{3qt}$
故I區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{5πm}{6qt}$，II區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度為：$\frac{5πm}{3qt}$．
答：（1）畫出粒子在磁場(chǎng)I和II中的運(yùn)動(dòng)軌跡如上圖；
（2）粒子在磁場(chǎng)I和II中的軌道半徑r₁和r₂比值為2：1；
（3）I區(qū)和II區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為$\frac{5πm}{6qt}$和$\frac{5πm}{3qt}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用牛頓第二定律即可正確解題；帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一般可先確定圓心求出半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力及圓的性質(zhì)求解．