Question

11．如圖，相距2L的．AB、CD兩邊界間的空間區(qū)域存在兩個方向相向的
勻強電場，其中PT以上的電場方向豎直向下，下面的電場方向豎直向上．PQ上連續(xù)分布著電荷量為+q、質量為m的粒子，依次以相同水平初速v₀垂直射入PT下方電場中，且有PQ=L．若從Q點射入的粒子恰從M點水平射出，滿足MT=$\frac{L}{2}$，其軌跡如圖．不計粒子重力及它們間的相互作用．
（1）求PT上、下電場強度E₁與E₀的大小
（2）在PQ間還有許多水平射入電場的粒子通過電場后也能從CD邊水平射出，求這些入射點到P點的距離應滿足的條件
（3）若從M點射出的粒子恰從中點S孔垂直射入邊長是α截面為正方形的容器中，容器中存在圖中所示的勻強磁場，已知粒子運動半徑小于α．為使粒子與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出，粒子與絕緣壁碰撞時無能量和電量損失，求磁感應強度B應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子在兩電場中做類平拋運動，由圖可得出粒子在兩電場中的運動情況；分別沿電場方向和垂直電場方向列出物理規(guī)律，聯(lián)立可解得電場強度的大��；
（2）根據(jù)電場強度的關系，結合速度公式求出運動的時間的關系，抓住L_PR=2L_RT，根據(jù)運動的周期性，找出PT距離在上下電場運動水平位移之和的通項表達式，從而結合豎直方向上的運動規(guī)律求出入射點到P點的距離應滿足的條件．
（3）作出粒子在磁場中運動的軌跡圖，結合軌道半徑的通項表達式，結合半徑公式求出磁感應強度的表達式．

解答 解：（1）設粒子在E₀和E₁運動時間分別為t₁、t₂，到達R時豎直速度為v_y，
根據(jù)   s=$\frac{1}{2}$at²，v=at，F(xiàn)=qE=ma
得   L=$\frac{1}{2}$a₁t${\;}_1^2$=$\frac{1}{2}•\frac{{qE{\;}_0}}{m}t{\;}_1^2$   ①
$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{a_2}t{\;}_2^2$=$\frac{1}{2}•\frac{{qE{\;}_1}}{m}t{\;}_2^2$    ②
v_y=$\frac{{q{E_0}}}{m}{t_1}$=$\frac{{q{E_1}}}{m}{t_2}$     ③
v₀（t₁+t₂）=2L　　　 ④
聯(lián)立以上各式解得     E₁=2E₀
則有        E₀=$\frac{9mv_0^2}{8qL}$，E₁=$\frac{9mv_0^2}{4qL}$
（2）由E₁=2E₀及③式可得t₁=2t₂ 　
則L_PR=2L_RT
設粒子第一次達PT直線用時△t，水平位移為△x，豎直位移為△y，則
△x=v₀△t　     ⑤
$2L=n（△x+\frac{△x}{2}）$（n=1，2，3…）         ⑥
△y=$\frac{1}{2}\frac{{q{E_0}}}{m}（△t）{\;}^2$⑦
由⑤～⑦式聯(lián)立并代入E₀解得     $△y=\frac{L}{n^2}$（n=1，2，3…）
討論：若n為偶數(shù)，粒子從PT下方垂直CD射出電場
若n為奇數(shù)，粒子從PT上方垂直CD射出電場
（3）為使粒子仍能從S孔射出，其運動軌跡如圖示意，設粒子運動的半徑為R₁
則　 R₁=$\frac{a}{2（2n+1）}$（ n=0，1，2…） 
又　 qv₀B=$\frac{{mv{\;}_0^2}}{R_1}$
解得      B=$\frac{{2（2n+1）m{v_0}}}{qa}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）PT上、下電場強度E₁與E₀的大小分別為 E₀=$\frac{9mv_0^2}{8qL}$，E₁=$\frac{9mv_0^2}{4qL}$；
（2）這些入射點到P點的距離應滿足的條件為 $△y=\frac{L}{n^2}$（n=1，2，3…）
（3）磁感應強度B應滿足的條件為 B=$\frac{{2（2n+1）m{v_0}}}{qa}$（n=0，1，2，3…）．

點評 帶電粒子在電場磁場中的運動要把握其運動規(guī)律，在電場中利用幾何關系得出其沿電場和垂直于電場的運動規(guī)律；而在磁場中也是要注意找出相應的幾何關系，從而確定圓心和半徑．