Question

2．如圖所示，在垂直于紙面向里的勻強磁場中，有一與磁場平行的足夠大的感光板ab，在距ab為SO=d的S處有一粒子源，向紙面內各個方向均勻發(fā)射速度大小都是v的粒子．已知粒子源每秒發(fā)射n個粒子，粒子質量均為m，電荷量均為+q，其中沿與SO成30°角的粒子剛好與ab相切于P，求：
（1）粒子從S到P所用的時間；
（2）ab上感光部分的長度；
（3）感光平板在一分鐘內接收到的粒子數．

Answer 1

分析 （1）根據粒子做圓周運動的周期與粒子轉過的圓心角求出粒子的運動時間．
（2）求出粒子打到感光板上的邊界范圍，然后求出長度．
（3）求出粒子打到感光板上的邊界范圍，求出角度，然后求出粒子數．

解答 解：（1）相切于P的粒子軌跡如圖1，粒子從S到P轉過的圓心角

∠SO₁P=α=$\frac{π}{3}$  ①
粒子做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$
所用時間：t=$\frac{α}{2π}$T 　�、�
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   ③
且有：cosα=$\frac{R-d}{R}$　　　�、�
解得：t=$\frac{2πd}{3v}$  ⑤；
（2）如圖2，粒子軌跡與ab交于Q點，當SQ為粒子軌跡圓的直徑時，Q點為能打到ab下側的最遠位置
OQ=$\sqrt{（4d）^{2}-gtdy4p4^{2}}$=$\sqrt{15}$d   ⑥
OP=2dsinα=$\sqrt{3}$d  ⑦
ab上感光部分的長度PQ=（$\sqrt{3}$+$\sqrt{15}$）d  ⑧

（3）如圖3所示，設粒子從S射出的方向與OS的夾角為θ時，粒子的軌跡與ab相切于M點，
由幾何關系：sinθ=$\frac{R-d}{R}$   ⑨
則：θ=30°⑩β=120°⑪
β角范圍內的粒子不能打到ab感光平板上
則每分鐘能打到ab上的粒子數N=（60n）×$\frac{2}{3}$=40n⑫
答：（1）粒子從S到P所用的時間為$\frac{2πd}{3v}$；
（2）ab上感光部分的長度為（$\sqrt{3}$+$\sqrt{15}$）d；
（3）感光平板在一分鐘內接收到的粒子數為40n．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，帶電粒子在磁場中的運動解題的關鍵在于確定圓心和半徑，然后再由幾何關系即可求得要求的問題．