Question

如圖所示，一個(gè)厚度不計(jì)的圓環(huán)A，緊套在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的圓柱體B的上端，A、B兩者的質(zhì)量均為m．A與B之間的最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相同，其大小為kmg（k＞1）．B由離地H高處由靜止開始落下，觸地后能豎直向上彈起，觸地時(shí)間極短，且無動(dòng)能損失．
（l）B與地第一次碰撞后，B上升的最大高度是多少？
（2）B與地第一次碰撞后，當(dāng)A與B剛相對(duì)靜止時(shí)，B下端離地面的高度是多少？
（3）要使A、B不分離，L至少應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：（1）兩個(gè)物體先一起自由下落，然后B與地面碰撞后反彈，B減速上升，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出上升的高度；
（2）物體A減速下降，物體B減速上升，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出時(shí)間，并計(jì)算出位移，得到B離地的高度；
（3）最終A、B靜止與地面上，由于減小的機(jī)械能完全轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用功能關(guān)系列式求解即可．

解答：解：（1）物體A、B一起下落H過程，機(jī)械能守恒
2mgH=

1

2

×2mv2
解得
v=

2gH

對(duì)B來說碰撞后以速度v向上作勻減速運(yùn)動(dòng)，其加速度a_B
由牛頓第二定律，得
mg+kmg=ma_B
得                
a_B=（k+1）g
根據(jù)速度位移公式，上升的最大高度為 H₁=

v2

2aB

=

H

k+1

即B與地第一次碰撞后，B上升的最大高度是

H

k+1

．
（2）對(duì)A來說碰撞后的加速度a_A
由kmg-mg=ma_A
得                
a_A=（k-1）g方向豎直向上．
當(dāng)A、B速度相等時(shí)，兩者相對(duì)靜止．
設(shè)經(jīng)時(shí)間t后，兩者速度相等，有
v-a_At=-（v-a_Bt）
解得
t=

1

k

2H g

B下端離地面的高度為
H1′=vt-

1

2

aBt2=

H(k-1)

k2

即B與地第一次碰撞后，當(dāng)A與B剛相對(duì)靜止時(shí)，B下端離地面的高度為

H(k-1)

k2

．
（3）由于B與地面碰撞過程無動(dòng)能損失，如果L足夠長(zhǎng)，最后A與B都靜止．由能的轉(zhuǎn)化與守恒，可得的最小值L_min．
即
kmg×L_min=mgH+mg（H+L_min）
解得
L_min=

2H

k-1

故要使A、B不分離，L至少應(yīng)為

2H

k-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是對(duì)各個(gè)過程多次運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解，同時(shí)可對(duì)整個(gè)過程運(yùn)用功能關(guān)系列式求解．