Question

如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界．磁場(chǎng)中有一半徑為R、軸線與磁場(chǎng)平行的金屬圓筒，圓筒的圓心O到MN的距離OO₁=3R，O₁O所在直線與圓筒右側(cè)壁交于A點(diǎn)．圓筒通過(guò)導(dǎo)線和電阻r接地．現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以相同的速度從很遠(yuǎn)處垂直于MN向右射入磁場(chǎng)區(qū)．當(dāng)金屬圓筒最初不帶電時(shí)，圓筒上以A點(diǎn)和C點(diǎn)為界，在ADC弧上各點(diǎn)都能接收到電子，而AEC弧上各點(diǎn)均不能接收到電子；當(dāng)圓筒上電荷量達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定后，通過(guò)電阻r的電流恒為I．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略運(yùn)動(dòng)電子間的相互作用和圓筒的電阻，取大地為零電勢(shì)點(diǎn)．求：
（1）電子射入磁場(chǎng)時(shí)的初速度v；
（2）電阻r的電流恒定時(shí)金屬圓筒的電勢(shì)φ；
（3）電阻r的電流恒定時(shí)電子到達(dá)圓筒時(shí)速度v和金屬圓筒的發(fā)熱功率P．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)锳點(diǎn)能接受到電子，故粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑應(yīng)為O₁A，即4R，依據(jù)半徑可以求的電子的初速度．
（2）電流恒定，說(shuō)明圓筒上的電荷不再增加，即與地面間的電勢(shì)差為定值了．以此可以求的圓筒的電勢(shì)．
（3）很遠(yuǎn)可以認(rèn)為其電勢(shì)為零，則從很遠(yuǎn)處到圓筒的電勢(shì)差即為U，由動(dòng)能定理即可求得到達(dá)圓筒的速度．
由電流可以求得單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)圓筒的電子數(shù)，由此可以得到電子的總能量，也就等于單位時(shí)間內(nèi)的總功率，此功率分為兩部分：一是圓筒發(fā)熱功率，二是電阻發(fā)熱功率．據(jù)此可以求得圓筒發(fā)熱功率．
解答：解：（1）根據(jù)題意，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必定是r=4R，如圖所示．由  
得：
（2）穩(wěn)定時(shí)，圓柱體上電荷不再增加，與地面電勢(shì)差恒為U
U=Ir
電勢(shì) φ=-Ir
（3）電子從很遠(yuǎn)處射到圓柱表面時(shí)速度滿足
得：
電流為I，單位時(shí)間到達(dá)圓筒的電子數(shù)：
電子所具有總能量：
消耗在電阻上的功率 P_r=I²r
所以圓筒發(fā)熱功率：
答：
（1）電子射入磁場(chǎng)時(shí)的初速度：
（2）電阻r的電流恒定時(shí)金屬圓筒的電勢(shì)：-Ir
（3）電阻r的電流恒定時(shí)電子到達(dá)圓筒時(shí)速度：
金屬圓筒的發(fā)熱功率：
點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)比較綜合的題，首先要會(huì)對(duì)磁場(chǎng)粒子的偏轉(zhuǎn)分析軌道半徑，這是這類(lèi)題目必須有能力．難點(diǎn)或技巧在于第三問(wèn)，我們?cè)诘谌龁?wèn)里，最好以單位時(shí)間來(lái)求電子能量，進(jìn)而得出單位時(shí)間內(nèi)電子的功率．