Question

如圖所示，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)，有相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里．一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從O點(diǎn)沿y軸正方向以某一速度射人，帶電粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t₀時(shí)間從P點(diǎn)射出．
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）若僅撤去磁場(chǎng)，帶電粒子仍從O點(diǎn)以相同的速度射入，經(jīng)t₀/2 時(shí)間恰從半圓形區(qū)域的邊界射出，求粒子運(yùn)動(dòng)加速度大�。�
（3）若僅撤去電場(chǎng)，帶電粒子仍從O點(diǎn)射入但速度為原來(lái)的4倍，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（4）若僅撤去電場(chǎng)，O點(diǎn)處有一帶正電的粒子源電性、質(zhì)量、電量及初速大小都一樣．（不計(jì)重力）從O點(diǎn)沿各個(gè)方向以某一速度射入磁場(chǎng)都做半徑為R/2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)試用斜線在圖中畫出粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域．要求有簡(jiǎn)要的文字說(shuō)明．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子沿y軸做直線運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明粒子的受力平衡，即受到的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力大小相等，從而可以求得電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）僅有電場(chǎng)時(shí)，帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得粒子運(yùn)動(dòng)加速度大��；
（3）僅有磁場(chǎng)時(shí)，入射速度v′=4v，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可以求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的大小，由周期公式可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)粒子從O點(diǎn)進(jìn)入時(shí)的速度為v₀，由于粒子勻速直線運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力公式及共點(diǎn)力平衡條件有：qE-qv₀B=0．
由勻速直線運(yùn)動(dòng)位移公式有：R=v₀t₀．解得：E=

RB

t0

，方向沿x軸正向．
（2）撤去磁場(chǎng)后，粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由勻變速、勻速直線運(yùn)動(dòng)位移公式有：x=v0

t0

2

，y=

1

2

a(

t0

2

)2．
由于粒子從磁場(chǎng)的半圓邊界射出，故有：x²+y²=R²，
代入R=v₀t₀解得：a=

4 3 R

t 2 0

．
（3）撤去電場(chǎng)后粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力．由左手定則可知，圓心O′在x軸負(fù)半軸上，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
對(duì)粒子的圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)用牛頓第二定律及洛倫茲力公式有：q(4v0)B=m

(4v0)2

r

．
聯(lián)立以上各式，解得：r=

3 R

3

．
由幾何關(guān)系可知：sinα=

R

2r

，代入r=

3 R

3

解得：α=

π

3

．

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=

α

2π

?T=

π 3

2π

?

2πm

qB

=

3 π

18

t0
（4）粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域：如圖水平向右入射的粒子是粒子出現(xiàn)區(qū)域的右邊界，左側(cè)是以O(shè)為圓心，以2R為半徑的圓．

以O(shè)P=R為直徑的半圓以及以0為圓心OP=R為
半徑的圓與磁場(chǎng)相交的部分，繪圖如圖．        
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�E=

RB

t0

，方向沿x軸正向．
（2）粒子運(yùn)動(dòng)加速度大小a=

4 3 R

t 2 0

．
（3）帶電粒子仍從O點(diǎn)射入但速度為原來(lái)的4倍，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

3 π

18

t0．
（4）粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域如圖．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．