Question

【題目】如圖為某種魚(yú)餌自動(dòng)投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧。投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上段放置一粒魚(yú)餌，解除鎖定，彈簧可將魚(yú)餌彈射出去。設(shè)質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)管壁的作用力恰好為零。不計(jì)魚(yú)餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能。已知重力加速度為g。求：

（1） 質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v1;

（2） 彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能Ep;

（3） 已知地面欲睡面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO-。在角的范圍內(nèi)來(lái)回緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只放置一粒魚(yú)餌，魚(yú)餌的質(zhì)量在到m之間變化，且均能落到水面。持續(xù)投放足夠長(zhǎng)時(shí)間后，魚(yú)餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

【答案】（1） ；（2）3mgR；（3）

【解析】

（1）質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，完全由重力提供，則

可以解得：

（2）從彈簧釋放到最高點(diǎn)C的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為魚(yú)餌的機(jī)械能，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律有:

即：

得：

故彈簧彈性勢(shì)能為Ep=3mgR

（3）不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)裝置對(duì)魚(yú)餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚(yú)餌離開(kāi)管口C后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間落到水面上，得：

離OO'的水平距離為x1，魚(yú)餌的質(zhì)量為m時(shí)：

魚(yú)餌的質(zhì)量為時(shí)，由動(dòng)能定理：

整理得：

同理：

魚(yú)餌能夠落到水面的最大面積s是：