Question

10．如圖，一足夠長的光滑平行金屬軌道，其軌道平面與水平面成θ角，上端用一電阻R相連，處于方向垂直軌道平面向上的勻強磁場中，質量為m、電阻為r的金屬桿ab，從高為h處由靜止釋放，下滑一段時間后，金屬桿開始以速度v勻速運動直到軌道的底端．金屬桿始終保持與導軌垂直且接觸良好，軌道電阻及空氣阻力均可忽略不計，重力加速度為g．則（　　）

• A． 金屬桿加速運動過程中的平均速度小于$\frac{1}{2}$v
• B． 金屬桿加速運動過程中克服安培力做功的功率大于勻速運動過程中克服安培力做功的功率
• C． 當金屬桿的速度為$\frac{v}{4}$時，它的加速度大小為$\frac{gsinθ}{4}$
• D． 整個運動過程中電阻R產生的焦耳熱為$\frac{（2mgh-m{v}^{2}）R}{2（R+r）}$

Answer 1

分析 本題關鍵應根據安培力與速度的關系分析金屬棒的運動情況．
金屬桿在加速運動中加速度不斷減小，根據速度圖象分析可知平均速度大于$\frac{1}{2}v$；
加速運動過程中金屬桿克服安培力做功的功率等于$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，與速率v的平方成正比，小于勻速運動過程中克服安培力做功的功率；
速度為$\frac{v}{2}$，安培力的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{v}{2}}{R+r}$，根據牛頓第二定律求解加速度；
整個回路中產生的焦耳熱為$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$，然后結合串聯電路中的電功率分配即可求出電阻R產生的焦耳熱．

解答 解：A、若金屬桿勻加速運動，則平均速度為$\frac{v}{2}$．實際上金屬桿加速運動中加速度不斷減小，速度-時間圖象的斜率不斷減小，在相同時間內金屬桿通過的位移大于勻加速運動通過的位移，則金屬桿的平均速度大于勻加速運動的平均速度$\frac{1}{2}v$．故A錯誤．
B、金屬桿克服安培力做功的功率等于$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，與速率v的平方成正比，由于勻速運動時速度最大，則知加速運動過程中金屬桿克服安培力做功的功率小于勻速運動過程中克服安培力做功的功率．故B錯誤．
C、勻速運動時，金屬桿的速度大小為v，所受的安培力大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，此時有mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$；當金屬桿的速度為$\frac{1}{2}$v時，它所受的安培力大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{v}{2}}{R+r}$，根據牛頓第二定律得
   mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{v}{2}}{R+r}$=ma，聯立解得a=$\frac{gsinθ}{2}$．故C錯誤．
D、整個運動過程中回路中產生的焦耳熱為Q=$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$，
所以R上產生的熱量：${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}•Q$=$\frac{（2mgh-m{v}^{2}）R}{2（R+r）}$，故D正確．
故選：D

點評 解決這類問題的關鍵時分析受力情況，掌握安培力的表達式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，進一步確定運動性質，并明確判斷各個階段及全過程的能量轉化．