Question

16．如圖所示，平行導(dǎo)軌置于同一水平面上，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，左端接電阻R．導(dǎo)軌內(nèi)存在豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界MNPQ為一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，正方形的邊與導(dǎo)軌成45°．以M點(diǎn)為原點(diǎn)，沿MP建x軸．一根質(zhì)量為m的光滑金屬桿（電阻忽略不計(jì)）垂直擱在導(dǎo)軌上，在沿x軸拉力F的作用下，從M點(diǎn)處以恒定速度v沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．問(wèn)：
（1）金屬桿在何處產(chǎn)生的感應(yīng)電流最大，并求出最大感應(yīng)電流I_m，在圖中電阻R上標(biāo)出感應(yīng)電流方向；
（2）請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明金屬桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中拉力F與位置坐標(biāo)x的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)E_m=BLv確定最大切割長(zhǎng)度求解最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求解電流強(qiáng)度，由右手定則判斷電流方向；
（2）設(shè)金屬桿移動(dòng)位移即為x，求出有效切割長(zhǎng)度與x的關(guān)系，求解電流強(qiáng)度大小，再根據(jù)安培力的計(jì)算公式求解安培力與x的方向，由此得到拉力與x的關(guān)系．

解答 解：（1）由題意可知，金屬桿在QN處即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a時(shí)，
此時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E_m為：E_m=BL_QNv=$\sqrt{2}$Bav，
感應(yīng)電流I_m為：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R}$=$\frac{\sqrt{2}Bav}{R}$，
感應(yīng)電流方向如圖

（2）由題意可知金屬桿移動(dòng)位移即為x，
安培力F_Ax=BI_xL_x
${I}_{x}=\frac{{E}_{x}}{R}$，E_x=BL_xv，
所以F_Ax=$\frac{{B}^{2}{L}_{x}^{2}v}{R}$，
當(dāng)0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$a時(shí)，L_x=2x
拉力F等于安培力F_A，即F=F_A=$\frac{{B}^{2}{L}_{x}^{2}v}{R}$=$\frac{4{{B}^{2}x}^{2}v}{R}$；
當(dāng)$\frac{\sqrt{2}}{2}$a≤x≤$\sqrt{2}$a時(shí)：L_x=$2（\sqrt{2}a-x）$，
拉力F等于安培力F_A，即F=F_A=$\frac{4{B}^{2}（\sqrt{2}a-x）^{2}v}{R}$
當(dāng)x＞$\sqrt{2}$a時(shí)，L_x=0
拉力F=F_A=0．
答：（1）金屬桿在$\frac{\sqrt{2}}{2}$a處產(chǎn)生的感應(yīng)電流最大，最大感應(yīng)電流為$\frac{\sqrt{2}Bav}{R}$，電流方向見(jiàn)解析圖；
（2）0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$a時(shí)，F(xiàn)=$\frac{{B}^{2}{L}_{x}^{2}v}{R}$=$\frac{4{{B}^{2}x}^{2}v}{R}$；
當(dāng)$\frac{\sqrt{2}}{2}$a≤x≤$\sqrt{2}$a時(shí)，F(xiàn)=$\frac{4{B}^{2}（\sqrt{2}a-x）^{2}v}{R}$；
當(dāng)x＞$\sqrt{2}$a時(shí)，F(xiàn)=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了法拉第電磁感應(yīng)定律和安培力的計(jì)算；對(duì)于導(dǎo)體切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以根據(jù)E=BLv來(lái)計(jì)算，注意L是垂直于磁場(chǎng)方向的有效切割長(zhǎng)度．