Question

13．甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛，甲車在前，速度為8m/s，乙車在后，速度為16m/s，當兩車相距s=16m時，甲車因故開始剎車，加速度大小為a=2m/s²，求：
（1）如果乙車不采取措施，乙車經過多長時間追上甲車？
（2）為避免相撞，乙車立即開始剎車，乙車的加速度大小為6m/s²時，此種情況能否相碰，如果不能相碰，請求出甲乙之間的距離存在的最值（最大值或最小值）？
（3）為避免兩車相碰，乙車加速度至少為多大？

Answer 1

分析 （1）根據速度時間公式求出甲車速度減為零的時間，求出兩車的位移，判斷是否追上，再結合位移關系求出追及的時間．
（2）根據速度時間公式求出兩車速度相等經歷的時間，求出兩車的位移，通過位移關系判斷是否相撞，若不相撞，有最小距離．
（3）抓住臨界狀態(tài)，即速度相等時恰好不相撞，結合速度公式和位移公式求出乙車的最小加速度．

解答 解：（1）甲車速度減為零的時間${t}_{1}=\frac{0-{v}_{甲}}{a}=\frac{-8}{-2}s=4s$，
此時甲的位移${x}_{1}=\frac{0-{{v}_{甲}}^{2}}{2a}=\frac{0-64}{-4}m=16m$，乙車的位移x₂=v_乙t₁=16×4m=64m，
因為x₂＞x₁+s，可知乙車在甲車未停下前已經追上，
根據${v}_{甲}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}+s={v}_{乙}t$得，8t-t²+16=16t，
解得t=$（4\sqrt{2}-4）s=1.66s$；
（2）兩車速度相等經歷的時間為t′，有：v_甲+at′=v_乙+a′t′，解得$t′=\frac{{v}_{乙}-{v}_{甲}}{a-a′}=\frac{16-8}{-2-（-6）}s=2s$，
此時甲的位移${x}_{1}′={v}_{甲}t′+\frac{1}{2}at{′}^{2}=8×2-\frac{1}{2}×2×4$m=12m，乙的位移${x}_{2}′={v}_{乙}t′+\frac{1}{2}at{′}^{2}$=$16×2-\frac{1}{2}×6×4m$=20m，
因為x₁′+s＞x₂′，可知不能相撞，最小距離△x=x₁′+s-x₂′=12+16-20m=8m．
（3）設乙車的最小加速度為a″，
當兩車速度相等時，有：v_甲+at=v_乙+a″t，
根據位移關系有：${v}_{甲}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}+s={v}_{乙}t+\frac{1}{2}a″{t}^{2}$，
聯(lián)立兩式，代入數(shù)據解得a″=-4m/s²．
答：（1）如果乙車不采取措施，乙車經過1.66s時間追上甲車；
（2）兩車不能相碰，最小距離為8m；
（3）乙車加速度至少為4m/s²

點評 本題考查了運動學中的追及問題，關鍵抓住臨界狀態(tài)，結合位移關系，運用運動學公式靈活求解，知道若不相撞，速度相等時有最小距離．