Question

（2013?南昌二模）如圖所示，OP₁Q₁與OP₂Q₂是位于同一水平面上的兩根金屬導軌，處在沿豎直方向的勻強磁場中，磁感應強度為B，長度相等的導軌OP₁段與OP₂段相互垂直，交于O點．導軌的P₁Q₁與P₂Q₂段相互平行，相距為2b．一根質量為m的金屬細桿，在t=0s時從O點出發(fā)，在外力作用下以恒定的速度v沿導軌向右滑動．在滑動的過程中，桿速度的方向始終保持與導軌的平行段相平行，且與OP₁成45°夾角，桿與導軌有良好的接觸．假定導軌與金屬桿都有電阻，且每單位長度的電阻都是r．不計金屬細桿與軌道之間的摩擦．
（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導軌上滑動時，通過金屬桿中的電流多大？
（2）從開始運動到t=

b

v

過程中，外力一共做了多少的功？
（3）若控制外力，使金屬桿從靜止開始作勻加速直線運動，加速度大小為a，試寫出外力隨時間變化的規(guī)律．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割求出感應電動勢的表達式，通過回路的長度求出回路的電阻，再通過歐姆定律求出感應到電流的大�。�
（2）從開始運動到t=

b

v

過程中，因為導體棒的有效長度均勻增加，電流不變，則安培力均勻增大，求出這段過程中的平均安培力，抓住安培力做的功等于外力做的功求出外力做功的大�。�
（3）分兩種情況討論，一種是在位移0-b內，一種是位移大于b后，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式，結合切割產(chǎn)生的感應電動勢和閉合電路歐姆定律求出外力隨時間變化的規(guī)律．

解答：解：（1）切割產(chǎn)生的感應電動勢E=BLV，回路中的電阻R=（2

2

vt+2vt）r，
根據(jù)歐姆定律得：
I₁=

BLv

R

=

B?2Vt?V

(2 2 vt+2vt)r

=

Bv

( 2 +1)r

（2）根據(jù)動能定理得：W_F-W_A=0
W_F=W_A=

0+FAmax

2

?b=

1

2

B

Bv

( 2 +1)r

2b?b=

B2vb2

( 2 +1)r

．
（3）分兩段討論：
①0≤t≤

2b a

S=

1

2

at²，V=at，I₁=

Bat

( 2 +1)r

．
F₁-BI₁?2S=ma
F₁=ma+

B2a2t3

( 2 +1)r

．
②t＞

2b a

R=[2

2

b+2（x-b）+2b]r=（2

2

b+at²）r
I₂=

B?2b?at

R

=

2abBt

(2 2 b+at2)r

F₂=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

答：（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導軌上滑動時，通過金屬桿中的電流為

Bv

( 2 +1)r

．
（2）從開始運動到t=

b

v

過程中，外力一共做了

B2vb2

( 2 +1)r

的功．
（3）當0≤t≤

2b a

，F(xiàn)₁=ma+

B2a2t3

( 2 +1)r

；當t＞

2b a

時，F(xiàn)₂=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

．

點評：本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識點，綜合性較強，注意需區(qū)別導體棒位移0-b內以及位移大于b兩種情況．