Question

8．如圖所示，傾角為θ=37°的粗糙斜面AB下端與半徑為R=1m的光滑圓弧軌道BCD相切于B點，C是最低點，D點與圓心O等高，整個裝置豎直放置，斜面長為L=4m，現(xiàn)有一個質(zhì)量為m=0.1kg的小物體P從斜面AB上端的A點無初速度下滑．若物體P與斜面AB之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.25，不計空氣阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物體P第一次通過C點時的速度大小v_C．
（2）物體P第一次通過C點時對軌道的壓力F_N．
（3）物體P對C點處軌道的最小壓力F_Nmin．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出物體P第一次通過C點的速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物體P第一次通過C點受到的支持力，從而得出物體P對軌道的壓力．
（3）最終物體P在C點兩側(cè)做往返運(yùn)動，抓住B點的速度為零，根據(jù)動能定理求出C點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出最小的支持力，從而得出物體P對C點處的最小壓力．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理得：mgLsinθ+mgR（1-cosθ）-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-0$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_c=6m/s．
（2）在C點，根據(jù)牛頓第二定律得：$N-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得支持力為：N=mg+$m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$=1+0.1×$\frac{36}{1}$N=4.6N．
根據(jù)牛頓第三定律知，物體P第一次通過C點時對軌道的壓力為4.6N．
（3）最終物體P在C點兩側(cè)做往返運(yùn)動，在B點的速度為零，根據(jù)動能定理得：$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}_{c}{′}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_c′=2m/s．
根據(jù)牛頓第二定律得：${N}_{min}-mg=m\frac{{v}_{c}{′}^{2}}{R}$，
解得最小支持力為：${N}_{min}=mg+m\frac{{v}_{c}{′}^{2}}{R}$=1+$0.1×\frac{4}{1}$N=1.4N．
則物體P對C點的最小壓力為1.4N．
答：（1）物體P第一次通過C點時的速度大小為6m/s．
    （2）物體P第一次通過C點時對軌道的壓力為4.6N．
    （3）物體P對C點處軌道的最小壓力為1.4N．

點評 本題考查了動能定理和圓周運(yùn)動的綜合運(yùn)用，知道物體P在最低點向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，以及知道物體P在最終在C點兩側(cè)做往復(fù)運(yùn)動．