Question

8．如圖所示，物體A、B通過細繩及輕質(zhì)彈簧連接在輕滑輪兩側(cè)，其中輕彈簧的勁度系數(shù)為k，物體A、B的質(zhì)量都為m，開始時細繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上，放手后物體A下落，與地面即將接觸時速度恰好為零，已知彈性勢能E_p與彈簧的形變量x之間的關(guān)系為E_p=$\frac{1}{2}$kx²，求：
（1）物體B剛要離地時物體A距地面的高度；
（2）物體B剛要離地時物體A的速度大小；
（3）在此過程中物體B的最大加速度．

Answer 1

分析 （1）物體B剛要離地時，彈簧對B的彈力等于B的重力，根據(jù)胡克定律求出彈簧的伸長量，開始彈簧處于原長，彈簧的伸長量等于A下落的高度，從而求出物體A距地面的高度；
（2）AB組成的系統(tǒng)，只有重力和彈簧彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒求解；
（3）B離開地面后，A做減速運動，B做加速運動，而A到達地面時速度剛好減為零，則此時彈簧伸長量最大，彈力最大，根據(jù)動能定理結(jié)合牛頓第二定律求解即可．

解答 解：（1）物體B剛要離地時，彈簧對B的彈力等于B的重力，根據(jù)胡克定律得：
mg=kx₁，
解得：${x}_{1}=\frac{mg}{k}$，
開始彈簧處于原長，則物體B剛要離地時物體A下落的距離為：${{x}_{2}=x}_{1}=\frac{mg}{k}$，
則A距地面的高度為：$h′=h-{x}_{2}=h-\frac{mg}{k}$，
（2）AB組成的系統(tǒng)，只有重力和彈簧彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒，則有：
mgx₂=$\frac{1}{2}k{{x}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2m{g}^{2}}{k}-\frac{m{g}^{2}}{{k}^{2}}}$
（3）A從靜止釋放到到達地面的過程中，根據(jù)動能定理得：
mgh-W_彈=0-0
解得：W_彈=mgh
則此時彈簧的彈性勢能為mgh，則有：mgh=$\frac{1}{2}k{{x}_{3}}^{2}$
解得：此時的彈力為：F=kx₃=$\sqrt{2kmgh}$，
當A落地時B的加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律得：B的最大加速度為：
a=$\frac{F-mg}{m}=\frac{\sqrt{2kmgh}}{m}-g$
答：（1）物體B剛要離地時物體A距地面的高度為$h-\frac{mg}{k}$；
（2）物體B剛要離地時物體A的速度大小為$\sqrt{\frac{2m{g}^{2}}{k}-\frac{m{g}^{2}}{{k}^{2}}}$；
（3）在此過程中物體B的最大加速度為$\frac{\sqrt{2kmgh}}{m}-g$．

點評 本題主要考查了動能定理、機械能守恒以及牛頓第二定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確對物體受力分析，知道AB組成的系統(tǒng)，只有重力和彈簧彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒，明確AB的運動狀態(tài)，知道A到達地面時速度剛好減為零，此時彈簧伸長量最大，彈力最大．