Question

11．如圖所示，光滑水平面MN左端足夠遠(yuǎn)的地方有一彈性擋板（碰撞時(shí)無(wú)能量損失）P，右端N與處于同一高度的水平傳送帶之間的距離可忽略，傳送帶水平部分NQ的長(zhǎng)度L=2m，傳送帶逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其速度v=2m/s．MN上放置著兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m_A=4kg、m_B=1kg的小物塊A、B，開(kāi)始時(shí)A、B都靜止，A、B間壓縮一鎖定的輕質(zhì)彈簧，其彈性勢(shì)能E_P=10J．現(xiàn)解除鎖定，彈簧彈開(kāi)A、B后迅速移走彈簧，g=10m/s²．求：
（1）物塊A、B被彈開(kāi)時(shí)各自的速度大�。�
（2）要使兩物塊能在水平面MN上發(fā)生碰撞，則小物塊B與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為多大；
（3）若物塊A、B與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)都等于第（2）問(wèn)中的臨界值，且兩物塊碰撞后結(jié)合成整體．在此后物塊A、B 三次離開(kāi)傳送的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩物塊與傳送帶間產(chǎn)生的總熱量．

Answer 1

分析 （1）A、B被彈簧彈開(kāi)的過(guò)程實(shí)際是爆炸模型，符合動(dòng)量守恒、AB及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．
（2）對(duì)B，運(yùn)用用動(dòng)能定理可以求出動(dòng)摩擦因數(shù)．
（3）我們用逆向思維考慮：A、B整體最后剛好從Q點(diǎn)滑出那么它的末速度一定為零，即他們一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，則A、B碰撞后的公共速度可求；而碰撞前B的速度已知，那么碰撞前A的速度利用動(dòng)量守恒可求；既然A的速度求出來(lái)了，利用動(dòng)能定理或者功能關(guān)系知道P對(duì)A做的功就等于A的動(dòng)能．

解答 解：（1）A、B物塊被彈簧彈開(kāi)的過(guò)程中，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：m_Av_A-m_Bv_B=0
由能量守恒知：${E_P}=\frac{1}{2}{m_A}v_A^2+\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$
解得：v_A=1m/s，v_B=4m/s
（2）要使兩物塊能在水平面MN上發(fā)生碰撞，小物塊B不能在傳送帶的Q端掉下，則小物塊B在傳送帶上至多減速運(yùn)動(dòng)達(dá)Q處．
以B物塊為研究對(duì)象，滑到最右端時(shí)速度為0，據(jù)動(dòng)能定理有：
  $-{μ_{min}}{m_B}gL=0-\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$
解得：μ_min=0.4
（3）物塊B返回過(guò)程先加速后勻速，到達(dá)水平面MN上時(shí)的速度等于傳送帶速度，故v′_B=v=2m/s
若兩物塊A、B在水平面MN上相向碰撞結(jié)合成整體，設(shè)共同速度為v₁，根據(jù)動(dòng)量守恒有
  m_Av_A-m_Bv′_B=（m_A+m_B）v₁
解得：v₁=0.4m/s，方向向右．
因v₁=0.4m/s＜v=2m/s，所以兩物塊A、B整體滑上傳送帶后先向右減速，再向左加速回到水平面MN上，且速度與v₁等值．整體與彈性擋板碰撞后再滑上傳送帶，如此重復(fù)運(yùn)動(dòng)．
兩物塊A、B整體每次在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)的距離為 $l=v×2×\frac{v_1}{μg}$=0.4m
故從A、B物塊碰撞后整體在傳送帶上三次運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生的總熱量為 Q=3μ（m_A+m_B）gl=24J．
若兩物塊A、B在水平面MN上同向碰撞結(jié)合成整體，設(shè)共同速度為v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒有
  m_Av_A-m_Bv′_B=（m_A+m_B）v₂
解得：v₂=1.2m/s，方向向右．
因v₁=1.2m/s＜v=2m/s，所以兩物塊A、B整體滑上傳送帶后先向右減速，再向左加速回到水平面MN上，且速度與v₂等值，如此重復(fù)運(yùn)動(dòng)．此時(shí)兩物塊A、B整體每次在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)的距離為 $l'=v×2×\frac{v_2}{μg}$=1.2m
故從A、B物塊碰撞后整體在傳送帶上三次運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生的總熱量為 Q′=3μ（m_A+m_B）gl′=72J．
答：
（1）物塊A、B被彈開(kāi)時(shí)各自的速度大小分別是1m/s和4m/s；
（2）小物塊B與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為0.4．
（3）兩物塊與傳送帶間產(chǎn)生的總熱量為72J．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確臨界狀態(tài)的條件，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理進(jìn)行研究．