Question

1．如圖所示，AB與CD是傾斜角為53⁰的兩對稱的粗糙斜面，A與D，B與C分別位于同一水平面上，兩斜面與光滑圓弧軌道相切于B、C兩點，E為軌道的最低點．A、B兩點的高度h=1.5m，圓弧軌道的半徑R=0.5m，滑塊P的質(zhì)量m=0.8kg，滑塊與斜面間的動摩擦因素μ=0.05，重力加速度g取10m/s²，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，求：
（1）滑塊P至少以多大的初速度v₀從A點下滑，才能沖上斜面CD到達D點？
（2）若滑塊P在A點由靜止開始下滑，求它在兩斜面上走過的路程S？
（3）若滑塊P在A點由靜止開始下滑，求其對軌道最低點E的最大壓力和最小壓力？

Answer 1

分析 （1）滑塊從A到右邊最高點的過程，運用動能定理求其初速度．
（2）滑塊從A點由靜止開始滑下后，由于克服摩擦力做功，滑塊在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，最終在BC圓弧上來回運動，到達B點的速度為零．物體在斜面上運動時摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負功，滑動摩擦力做的總功與總路程成正比，根據(jù)動能定理求解在兩斜面上走過的總路程S．
（3）當最后穩(wěn)定后，物體在BC之間運動時，經(jīng)過E點時速度最小，軌道對物體的支持力最小，根據(jù)動能定理求出最小速度，再由牛頓第二定律求解最小支持力．由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道最小的壓力．滑塊第一次經(jīng)過E點時速度最大，用同樣的方法求最大壓力．

解答 解：（1）滑塊恰好到達D點時速度為零，根據(jù)動能定理有：
-2μmgcos53°•$\frac{h}{sin53°}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得 v₀=$\sqrt{3μgh}$=$\sqrt{3×0.05×10×1.5}$=1.5m/s         
（2）最終滑塊在光滑軌道上來回運動，且到達B點和C點時速度均為零，根據(jù)動能定理有：
 mgh-μmgcos53°•S=0-0
解得 S=$\frac{h}{μcos53°}$=$\frac{1.5}{0.05×0.6}$=50m             
（3）設(shè)滑塊經(jīng)過E點時的最小速率為v₁，最小支持力為N₁；最大速率為v₂，最大支持力為N₂．
根據(jù)牛頓第二定律有：
  N₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
  N₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
根據(jù)動能定理得
   mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
   mg[h+R（1-cos53°）]-μmgcos53°•$\frac{h}{sin53°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v₁=2m/s，v₂=$\sqrt{\frac{263}{8}}$m/s
   N₁=14.4N，N₂=60.6N            
由牛頓第三定律知滑塊對軌道E點的最大壓力為60.6N，最小壓力為14.4N．
答：
（1）滑塊P至少以1.5m/s的初速度v₀從A點下滑，才能沖上斜面CD到達D點．
（2）若滑塊P在A點由靜止開始下滑，它在兩斜面上走過的路程S是50m．
（3）若滑塊P在A點由靜止開始下滑，其對軌道最低點E的最大壓力為60.6N，最小壓力為14.4N．

點評 本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應用，關(guān)鍵是分析物體的運動過程，抓住滑動摩擦力做功與路程有關(guān)這一特點進行研究．