Question

12．如圖所示，光滑絕緣，半徑為R的半圓形軌道，固定在豎直面內(nèi)，B、C的連線是水平直徑．現(xiàn)有一帶正電的小球（可視為質(zhì)點）從B點正下方的A點以初速度v₀=4$\sqrt{gR}$向上拋出，A、B兩點間距離為4R．從小球進(jìn)入半圓形軌道的B點開始，整個空間中突然加上一個勻強(qiáng)電場，電場力在豎直方向上的分力大小與重力大小相等．小球沿軌道內(nèi)側(cè)運動，從C處脫離半圓形軌道后，其運動軌跡經(jīng)過A點．在A點的右下方有一足夠大的絕緣板D，D垂直于豎直面，且與水平面的夾角為45⁰．設(shè)小球運動過程中帶電量沒有改變，重力加速度為g，求：
（1）小球到達(dá)B點的速度大��？
（2）小球經(jīng)過C處時對軌道的壓力？
（3）小球回到A點的同時，再對小球施加一個恒力F．若施加恒力后，保持板垂直于豎直面且與水平面的夾角不變，在A點右下方任意改變板的位置，小球都能垂直打在板上，求出所有滿足條件的恒力？

Answer 1

分析 （1）由動能定理求的速度；
（2）從C到A物體在水平方向勻加速運動，根據(jù)類平拋運動求的水平方向的電場力，從B到C根據(jù)動能定理求的C點的速度，根據(jù)牛頓第二定律求的作用力
（3）求的再次到達(dá)A點的速度，根據(jù)幾何關(guān)系求的即可

解答 解：（1）從A到B，由動能定理：$-4mgR=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
${v_B}=2\sqrt{2gR}$
（2）從B到C，由動能定理：$-{F_x}•2R=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
從C到A：$a=\frac{F_x}{m}$
$2R=\frac{1}{2}a{t^2}$
4R=v_ct
解得：F_x=mg${v_c}=2\sqrt{gR}$
在C點，由牛頓第二定律：$N+{F_x}=m\frac{v_C^2}{R}$
解得：N=3mg
又由牛頓第三定律得：小球在C點對軌道的壓力為：N'=3mg
（3）小球再次到A的水平分速度：${v_{Ax}}=2\sqrt{gR}$
$tanα=\frac{{{v_{Ax}}}}{v_C}=1$
α=45⁰
沿速度和垂直于速度建立x'和y'軸，設(shè)恒力F與y'負(fù)半軸的夾角為β，且順時針為正．-45⁰≤β＜90⁰
${F_x}cos{45^0}=Fcosβ$
$F=\frac{{\sqrt{2}mg}}{2cosβ}$

答：（1）小球到達(dá)B點的速度大小為$2\sqrt{2gR}$
（2）小球經(jīng)過C處時對軌道的壓力3mg
（3）滿足條件的恒力為$\frac{\sqrt{2}mg}{2cosβ}$，-45⁰≤β＜90⁰

點評 本題主要考查了在電場力作用下的動能定理和類平拋運動，關(guān)鍵是運動過程的分析；