Question

13．如圖所示，同一豎直平面內(nèi)的光滑軌道，是由一斜直軌道和一段由細(xì)圓管彎成的圓形軌道連接而成，斜直軌道的底端與圓形軌道相切．圓形軌道半徑為R（細(xì)圓管內(nèi)徑遠(yuǎn)小于R），A是圓形軌道的最低點(diǎn)，B是圓形軌道的最高點(diǎn)，O是圓形軌道的圓心．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球從斜直軌道上某處由靜止開始下滑，進(jìn)入細(xì)圓管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．忽略機(jī)械能損失，重力加速度用g表示．試求：
（1）若小球從距地面高2R處下滑，小球到達(dá)A點(diǎn)的速度大�。�
（2）若小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度大小為$\sqrt{gR}$，小球下落的高度應(yīng)是圓形軌道半徑的多少倍；
（3）若小球通過圓形軌道最高點(diǎn)B時(shí)，對(duì)管壁的壓力大小為0.5mg，小球下落的高度應(yīng)是圓形軌道半徑R的多少倍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球到達(dá)A點(diǎn)的速度．
（2）對(duì)開始到達(dá)B過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出小球下落的高度是圓形軌道半徑的倍數(shù)．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出下落的高度．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得：mg•2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$-0，
解得：${v}_{A}=\sqrt{4gR}$．
（2）對(duì)開始到B點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理得：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，
解得：h=$\frac{5}{2}R$．
（3）若對(duì)管壁的壓力向下，根據(jù)牛頓第二定律得：$mg-N=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
N=0.5mg，
解得：${v}_{B}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg（{h}_{1}-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${h}_{1}=\frac{9R}{4}$．
若對(duì)管壁的壓力向上，根據(jù)牛頓第二定律得：$N+mg=m\frac{{v}_{B}{′}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{B}′=\sqrt{\frac{3gR}{2}}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg（{h}_{2}-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}-0$，
解得：h₂=$\frac{11}{4}R$．
答：（1）小球到達(dá)A點(diǎn)的速度為$\sqrt{4gR}$；
（2）小球下落的高度應(yīng)是圓形軌道半徑的$\frac{5}{2}$倍；
（3）小球下落的高度應(yīng)是圓形軌道半徑R的$\frac{9}{4}$倍或$\frac{11}{4}$倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道最高點(diǎn)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵，注意第三問中，小球可能對(duì)外壁有壓力，也可能對(duì)內(nèi)壁有壓力．