Question

7．一彈簧豎直固定在地面上．上面連接一質(zhì)量為1kg的物體A，A處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)彈簧被壓縮了0.15m．質(zhì)量也為1kg的物體B從A正上方h=0.3m處自由下落．碰后A，B結(jié)合在一起向下運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度g=10m/s²，該彈簧形變量為x時(shí)的彈性勢(shì)能為E_p=$\frac{1}{2}$kx²．其中k為彈簧的勁度系數(shù)．求：
（1）碰后瞬間兩物體的總動(dòng)能；
（2）碰后A、B的最大動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）由自由落體運(yùn)動(dòng)速度位移公式或機(jī)械能守恒定律求出B與A碰撞前的速度．兩物體碰撞過(guò)程遵守動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出碰撞后兩物體的速度，再求碰后瞬間兩物體的總動(dòng)能．
（2）碰后A、B一起向下運(yùn)動(dòng)，彈簧的彈力不斷增大，當(dāng)彈力與AB的總重力大小相等時(shí)，動(dòng)能最大．由機(jī)械能守恒定律可以求出彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）A、B的質(zhì)量相等，設(shè)為m．
物體B自由下落時(shí)，由機(jī)械能守恒定律得：
  mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.3}$=$\sqrt{6}$m/s；
碰撞過(guò)程A、B的動(dòng)量守恒，以向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
  mv₀=（m+m）v
代入數(shù)據(jù)解得：v=$\frac{\sqrt{6}}{2}$m/s；
碰后A、B的總動(dòng)能：E_K=$\frac{1}{2}$（m+m）v²
代入數(shù)據(jù)解得：E_K=1.5J；
（2）A處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，由胡克定律得 mg=kx₁，得 k=$\frac{mg}{{x}_{1}}$=$\frac{10}{0.15}$=$\frac{200}{3}$N/m
碰后A、B一起向下運(yùn)動(dòng)，彈簧的彈力不斷增大，當(dāng)彈力與AB的總重力大小相等時(shí)，動(dòng)能最大．設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x₂．
則有 2mg=kx₂；
可得 x₂=2x₁=0.3m
從碰后到動(dòng)能最大的過(guò)程中A、B下降的高度為 h′=x₂-x₁=0.15m
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  2mgh′=E_Km+（$\frac{1}{2}k{x}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$）
解得碰后A、B的最大動(dòng)能 E_Km=0.75J；
答：
（1）碰后瞬間兩物體的總動(dòng)能是1.5J；
（2）碰后A、B的最大動(dòng)能是0.75J．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住每個(gè)狀態(tài)和過(guò)程的物理規(guī)律是關(guān)鍵，要明確碰撞過(guò)程，由于外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律、胡克定律即可正確解題．