Question

15．據(jù)預測，在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個在地球表面重力為700N的人在“宜居”行星表面的重力將變?yōu)?120N．該行星繞恒星A旋轉，其到恒星A的距離是地球到太陽距離的3倍，恒星A的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的12倍．由此可推知，該行星的半徑是地球半徑的2倍，在該行星上的“一年”與在地球上的“一年”之比為3：2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一個人地球表面與該行星表面重力之比，即可求出該行星表面與地球表面重力加速度之比．
在忽略自轉的情況下，萬有引力等于物體所受的重力，所以根據(jù)重力之比，可以該行星的半徑與地球半徑之比．
（2）行星繞恒星A做勻速圓周運動，由恒星A的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可以列式得到該行星公式周期的表達式，同理，得到地球繞太陽周期的表達式，即可求出行星與地球公式周期之比，即是在該行星上的“一年”與在地球上的“一年”之比．

解答 解：（1）在地球表面，有G_地=mg_地．
在該行星表面處，有G_行=mg_行．
則得，該行星表面與地球表面重力加速度之比為：
g_行：g_地=G_行：G_地=1120N：700N=1.6：1
在忽略自轉的情況下，萬有引力等于物體所受的重力得$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
有 R²=$\frac{GM}{g}$
故$\frac{{{R}_{行}}^{2}}{{{R}_{地}}^{2}}=\frac{{M}_{行}{g}_{地}}{{M}_{地}{g}_{行}}$=$6.4×\frac{1}{1.6}$=4
所以該行星的半徑與地球半徑之比為2：1．
（2）對于行星繞恒星的運動，由恒星的萬有引力提供行星的向心力，則有$G\frac{{M}_{恒}{m}_{行}}{{r}^{2}}$=${m}_{行}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
得行星公轉周期為 T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{G{M}_{恒}}}$
則得：該行星公轉與地球公式周期之比為$\frac{{T}_{行}}{{T}_{地}}=\sqrt{{（\frac{{r}_{行}}{{r}_{地}}）}^{3}}×\sqrt{\frac{{M}_{太}}{{M}_{A}}}$=$\frac{3}{2}$
即在該行星上的“一年”與在地球上的“一年”之比為3：2．
故答案為：2；3：2．

點評 第1題根據(jù)黃金代換式g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$研究行星的半徑與地球半徑之比．第2題要建立行星繞恒星運動的模型，根據(jù)恒星的萬有引力提供行星的向心力，列式求解周期關系．