Question

6．如圖所示，邊長為L=0.3m正方形邊界abcd中有垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度大小為B₀=0.5T的勻強磁場，一質(zhì)量m=8×10^-26kg、電荷量q=8×10^-19C的粒子（重力不計）從邊界ad上某點D以某個速度射入．粒子從cd中點P孔射出，再經(jīng)小孔Q進入相互正交的勻強電場和勻強磁場區(qū)域，區(qū)域?qū)挾葹?L，電場強度大小E=5×10⁵V/m，磁感應(yīng)強度大小B₁=1T、方向垂直紙面向里，已知粒子經(jīng)過QM正中間位置時有一段時間△t撤去了勻強電場．虛線ef、gh之間存在著水平向右的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B₂=0.25T（圖中未畫出）．有一塊折成等腰直角的硬質(zhì)塑料板ABC（不帶電，寬度很窄，厚度不計）放置在ef、gh之間（截面圖如圖），CB兩點恰在分別位于ef、gh上，AC=AB=0.3m，a=45°．粒子恰能沿圖中虛線QM進入ef、gh之間的區(qū)域，π取3．

（1）Dd距離；
（2）已知粒子與硬質(zhì)塑料相碰后，速度大小不變，方向變化遵守光的反射定律．粒子從Q到gh過程中的運動時間和路程分別是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在電磁場中受力平衡求解速度大小，粒子在abcd磁場中作勻速圓周運動，根據(jù)洛侖茲力提供向心力求解半徑，再由幾何知識可得粒子射入點的位置在ad邊上距d點的距離；
（2）粒子從P以速度v₀進入PQ、MN之間的區(qū)域，先做勻速直線運動，到平行板正中間做勻速圓周運動n圈，然后做勻速直線運動打到ab板上，以大小為v₀的速度垂直于磁場方向運動．求出粒子在正交的勻強電場和勻強磁場區(qū)域的運動時間，粒子將以半徑R₃在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)動一周后打到ab板的下部．分析粒子在磁場中共碰到多少塊板，根據(jù)運動規(guī)律求解總時間；最后根據(jù)運動情況得到總路程．

解答 解：（1）要使粒子能沿圖中虛線PQ進入ef、gh之間的區(qū)域，則粒子所受到向上的洛倫茲力與向下的電場力大小相等，有qv₀B₁=qE，解得v₀=5×10⁵m/s，
粒子在abcd磁場中作勻速圓周運動，設(shè)半徑為R₁，洛侖茲力提供向心力，有，qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，解得R₁=0.1m，
作出粒子在磁場中軌跡圖如圖所示．

由幾何知識可得R₁+R₁cosθ=$\frac{1}{2}$L，解得θ=60°，粒子射入點的位置在ad邊上距d點為x=R₁sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{20}$m；
（2）粒子從P以速度v₀進入PQ、MN之間的區(qū)域，先做勻速直線運動，到平行板正中間做勻速圓周運動n圈，然后做勻速直線運動打到AB板上，以大小為v₀的速度垂直于磁場方向運動．粒子運動到在磁感應(yīng)強度大小B₁=0.8T的勻強磁場中做圓周運動，由洛侖茲力提供向心力有qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$，運動周期T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}$，
粒子在正交的勻強電場和勻強磁場區(qū)域的運動時間t₁=nT₁+$\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$，其中n為正整數(shù)；
粒子將以半徑R₃在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)動一周后打到AB板的下部．
由于不計板的厚度，所以質(zhì)子從第一次打到AC板到第二次打到AC板后運動的時間為粒子在磁場運動一周的時間，即一個周期T₃，
由qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{3}^{\;}}$和T₃=$\frac{2π{R}_{2}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$，得T₃=$\frac{2πm}{q{B}_{2}^{\;}}$，
粒子在磁場中共碰到2塊板，做圓周運動所需的時間為t₂=2T₃，
粒子進入磁場中，在v₀方向的總位移s₃=2Lsin45°、時間t₃=$\frac{s}{{v}_{0}^{\;}}$，
從Q到gh過程的總時間為t=t₁+t₂+t₃，
從Q到gh過程的總路程為M=2L+n（2πR₂）+2πR₃×2+s₃，
解得△t=（7.4×10^-6+7.5n×10^-7）s、
M=（6.112+0.3n）m．
答：（1）Dd距離為$\frac{\sqrt{3}}{20}m$；
（2）粒子從Q到gh過程中的運動時間為$（7.4×1{0}_{\;}^{-6}+7.5n×1{0}_{\;}^{-7}）s$，路程是（6.112+0.3n）．

點評 對于帶電粒子在磁場中的運動情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對應(yīng)的圓心角求時間；對于帶電粒子在電場中運動時，一般是按類平拋運動的知識進行解答．