Question

18．如圖所示是某同學(xué)設(shè)計(jì)的一種游戲競(jìng)賽裝置示意圖．OA是足夠長(zhǎng)的傾斜直軌道，傾角 θ=53°．ABCB'是半徑為 r=0.4m的圓形軌道．B'D是水平直軌道，長(zhǎng)s=1m．直軌道均與圓形軌道相切，切點(diǎn)分別為A和B'．E點(diǎn)位于 D點(diǎn)的正下方h=0.8m處，M、N與E的距離分別為x₁=1.6m、x₂=2.4m，在 M、N處各放一個(gè)收集箱．質(zhì)量m=0.1kg的小球沿軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，在傾斜軌道和圓形軌道上受到的阻力很小可忽略不計(jì)，在水平軌道上受到的阻力恒為其重力的0.2 倍．比賽規(guī)定：小球落入M、N收集箱時(shí)分別得1分和5分． 該同學(xué)在圖中O點(diǎn)處無(wú)初速釋放小球時(shí)，小球剛好落入M收集箱，得1分．
（1）從O點(diǎn)無(wú)初速釋放小球時(shí)，求小球從D點(diǎn)飛出的速度大��；
（2）求O點(diǎn)離A點(diǎn)的豎直高度H；
（3）若要在比賽中得5分，則小球在O點(diǎn)應(yīng)以多大的初速度沿斜面下滑？在此情況下，求小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．（計(jì)算結(jié)果可以用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）由D到M做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式即可求解；
（2）對(duì)O到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)位移公式求得在D的速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理即可求得在O的速度；再對(duì)O到C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求得在C的速度，然后就可由牛頓第二定律求得支持力，最后由牛頓第三定律求得壓力．

解答 解：（1）小球從D到M做平拋運(yùn)動(dòng)，故由平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x₁=v_Dt可得：${v}_{D}=\frac{{x}_{1}}{t}=\frac{{x}_{1}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=4m/s$；
（2）小球從O到D只有重力、摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：$mg（H+r-rcosθ）-0.2mgs=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$
所以，$H=\frac{\frac{1}{2}{{v}_{D}}^{2}+0.2gs}{g}-r+rcos53°=0.84m$；
（3）若要在比賽中得5分，則同（1）相似，故由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得在D點(diǎn)的速度${v}_{D}′=\frac{{x}_{2}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=6m/s$；
那么，對(duì)O到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$mg（H+r-rcosθ）-0.2mgs=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}'^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{O}}^{2}$
所以，${{v}_{D}}^{2}={v}_{D}{′}^{2}-{{v}_{O}}^{2}$，即${v}_{O}=\sqrt{{v}_{D}{′}^{2}-{{v}_{D}}^{2}}=2\sqrt{5}m/s$；
對(duì)小球從O到C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$mg（H-r-rcosθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{O}}^{2}$，
那么，小球在C點(diǎn)所需向心力$F=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{r}=\frac{2mg（H-r-rcosθ）+m{{v}_{O}}^{2}}{r}=6N$；
那么，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)受到軌道的支持力F_N=F-mg=5N，方向豎直向下；
所以，由牛頓第三定律可知：小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為5N，方向豎直向上；
答：（1）從O點(diǎn)無(wú)初速釋放小球時(shí)，小球從D點(diǎn)飛出的速度大小為4m/s；
（2）O點(diǎn)離A點(diǎn)的豎直高度H為0.84m；
（3）若要在比賽中得5分，則小球在O點(diǎn)應(yīng)以$2\sqrt{5}m/s$的初速度沿斜面下滑；在此情況下，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為5N，方向豎直向上．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．