Question

16．質(zhì)量為0.04千克的質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=0.5cos（5t-$\frac{π}{2}$）米，式中t以秒計(jì)．求：
（1）初始位移、初始速度；
（2）t=$\frac{4π}{3}$秒時(shí)的位移、速度和加速度；
（3）質(zhì)點(diǎn)的位移大小為振幅的一半處且向x軸正向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻的速度、加速度和所受的力．

Answer 1

分析 （1）簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x=Asin（ωt+φ），A為振幅，ω為圓頻率．將時(shí)間t=0代入即可求出初位移，求導(dǎo)即可求出初速度；
（2）將時(shí)間t=$\frac{4π}{3}$秒代入公式即可求出位移，求導(dǎo)即可求出速度，再次求導(dǎo)求出加速度；
（3）根據(jù)位移，求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間，然后同（2）的方法即可求出．

解答 解：（1）根據(jù)簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為x=0.5cos（5t-$\frac{π}{2}$）米，可知，t=0時(shí)刻：${x}_{0}=0.5•cos\frac{π}{2}=0$；對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)得：v=x′=-5×0.5sin（5t-$\frac{π}{2}$）；當(dāng)t=0時(shí)，v=2.5m/s．
（2）根據(jù)簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為x=0.5cos（5t-$\frac{π}{2}$）米，可知，t=$\frac{4π}{3}$時(shí)刻：${x}_{1}=0.5•cos（5×\frac{4π}{3}-\frac{π}{2}）=0.5cos\frac{37π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{4}$m；
對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)得：v=x′=-5×0.5sin（5t-$\frac{π}{2}$）；當(dāng)t=$\frac{4π}{3}$時(shí)，v₁=-5×0.5sin（5×$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{2}$）=-1.25m/s．
對(duì)速度方程求導(dǎo)得：a=v′=x″=-12.5cos（5t-$\frac{π}{2}$）；當(dāng)t=$\frac{4π}{3}$時(shí)，a₁=-12.5cos（5×$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{2}$）=$-\frac{25\sqrt{3}}{4}$m/s²
（3）在簡諧振動(dòng)的過程中當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位移大小為振幅的一半處且向x軸正向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移可能為正，是0.25m，也可能為負(fù)是-0.25m：
①當(dāng)x=0.25m時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)，$（5t-\frac{π}{2}）=\frac{5}{3}π$，質(zhì)點(diǎn)的速度：v₂=-2.5sin$\frac{5}{3}π$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m/s，加速度：a₂=-12.5cos$\frac{5}{3}π$=-6.25m/s²
質(zhì)點(diǎn)所受的力：F₁=ma₂=0.04×（-6.25）=-0.25N
②當(dāng)x=-0.25m時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)，$（5t-\frac{π}{2}）=\frac{4}{3}π$，質(zhì)點(diǎn)的速度：v₃=-2.5sin$\frac{4}{3}π$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m/s，加速度：a₃=-12.5cos$\frac{4}{3}π$=6.25m/s²
所受的力：F₂=ma₃=0.04×6.25=0.25N
答：（1）初始位移是0，初始速度是2.5m/s；
（2）t=$\frac{4π}{3}$秒時(shí)的位移是$\frac{\sqrt{3}}{4}$m，速度是-1.25m/s，加速度是$-\frac{25\sqrt{3}}{4}$m/s²；
（3）質(zhì)點(diǎn)的位移大小為振幅的一半處且向x軸正向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，①當(dāng)x=0.25m時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度是$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m/s，加速度是-6.25m/s²質(zhì)點(diǎn)所受的力是-0.25N；②當(dāng)x=-0.25m時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度是$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m/s，加速度是6.25m/s² 所受的力 0.25N．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x=Asin（ωt+φ），知道A為振幅，ω為圓頻率．利用位移與速度、加速度的導(dǎo)數(shù)關(guān)系即可解決．