Question

11．如圖所示，豎直固定的管道內(nèi)有一個小球，球的直徑比管的內(nèi)徑稍小，管內(nèi)內(nèi)壁是粗糙的，管內(nèi)外壁是光滑的，管道的半徑為R，R遠大于管的內(nèi)徑，小球在管的最低點，現(xiàn)給小球一個向右的初速度，使小球在管道里運動，為了使小球能在管道里越過最高點一直運動下去，小球在最低的初速度至少為（重力加速度為g）（　�。�

• A． $\sqrt{2gR}$
• B． $\sqrt{3gR}$
• C． $\sqrt{4gR}$
• D． $\sqrt{5gR}$

Answer 1

分析 小球在最高點，靠重力和管道的彈力提供向心力，若使小球能在管道里越過最高點一直運動下去，則小球不能受到摩擦力的作用，所以管的外側(cè)與小球之間有相互作用，而管的內(nèi)側(cè)始終與小球沒有作用力，根據(jù)牛頓第二定律小球彈力和速度的關系．

解答 解：根據(jù)題意可知，小球與管的內(nèi)壁之間始終不能有作用力，所以小球在最高點時，恰好又重力提供向心力時，對應的速度最小，此時：
$mg=\frac{m{v}_{min}^{2}}{\\;R}$
從最高點到最低點的過程中，重力做功，機械能守恒，得：
$mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立得：
v=$\sqrt{5gR}$
故選：D

點評 解決本題的關鍵知道小球做圓周運動向心力的來源，運用牛頓第二定律進行求解，該模型與桿模型類似，與繩模型不同．