Question

19．探月工程三期飛行試驗(yàn)器于2014年10月24日2時(shí)在中國(guó)西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛行試驗(yàn)器飛抵距月球6萬(wàn)千米附近進(jìn)入月球引力影響區(qū)，開始月球近旁轉(zhuǎn)向飛行，最終進(jìn)入距月球表面h=200km的圓形工作軌道．設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 飛行試驗(yàn)器繞月球運(yùn)行的周期為2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• B． 在飛行試驗(yàn)器的工作軌道處的重力加速度為（$\frac{R}{R+h}$）²g
• C． 飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的繞行速度為$\sqrt{g（R+h）}$
• D． 由題目條件可知月球的平均密度為$\frac{3g}{4πG（R+h）}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力與星球表面重力相等列出等式，根據(jù)牛頓第二定律得出飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的加速度；
飛行器繞月運(yùn)行時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力列出等式求解；
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，推導(dǎo)出線速度求解；
根據(jù)密度定義求解．

解答 解：令月球質(zhì)量為M，在月球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
可得：GM=gR²
A、飛行器繞月運(yùn)行時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$，r=R+h
解得：飛行試驗(yàn)器繞月球運(yùn)行的周期為：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{{g{R^2}}}}$，故A錯(cuò)誤；
B、飛行試驗(yàn)器工作軌道處的重力加速度為：$g′=\frac{GM}{r^2}=（\frac{R}{R+h}{）^2}g$，故B正確；
C、$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$，故C錯(cuò)誤；
D、月球的密度為：$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}=\frac{3g}{4πGR}$，故D錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬(wàn)有引力與星球表面重力相等是解決此類問題的主要入手點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握相關(guān)公式及公式變換．