Question

13．如圖所示，xOy坐標(biāo)系內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，x＜0區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出），y軸為電場(chǎng)右邊界．磁場(chǎng)中放置一半徑為R的圓柱形圓筒，圓心O₁的坐標(biāo)為（2R，0），圓筒軸線與磁場(chǎng)平行，現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以速度v₀從很遠(yuǎn)處垂直于y軸沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)射入磁場(chǎng)區(qū)，已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮打到圓筒表面的電子對(duì)射入磁場(chǎng)的電子的影響．
求：（1）x＜0區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；
（2）若圓筒外表面各處都沒有電子打到，則電子初速度應(yīng)滿足什么條件？
（3）若電子初速度滿足v₀=$\frac{3eBR}{m}$，則y軸上哪些范圍射入磁場(chǎng)的電子能打到圓筒上？圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有電子打到的區(qū)域的面積之比是多少？

Answer 1

分析 （1）電子y軸左側(cè)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，說明電場(chǎng)力好洛倫茲力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）電子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡為半圓，臨界情況是軌跡與圓筒相切；
（3）找出兩個(gè)臨界軌跡，即射入的電子剛好擦過圓筒，軌跡與圓筒上側(cè)相切，以及與圓筒下側(cè)相切，作出臨界圖，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解，得到圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有電子打到的區(qū)域的面積之比．

解答 解：（1）由題意可得在x＜0區(qū)域內(nèi)，平行電子束做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
所以有Ee=ev₀B                                    
解得E=v₀B    方向沿y軸負(fù)方向                   
（2）如圖所示，設(shè)電子進(jìn)入磁場(chǎng)回旋軌道半徑為r，
則   ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
若沒有電子打到圓筒表面，則r＜R     
可解得v₀＜$\frac{BeR}{m}$       
（3）根據(jù)ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，v₀=$\frac{3eRB}{m}$    
 解得r=3R              
大量電子從y軸上不同點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，軌跡如圖，從O上方P點(diǎn)射入的電子剛好擦過圓筒                                  
OO₂=$\sqrt{{O}_{1}{{O}_{2}}^{2}-O{{O}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{16{R}^{2}-4{R}^{2}}$=2$\sqrt{3}$R　                             
OP=OO₂+r=（3+2$\sqrt{3}$）R                           
同理可得到O距下方Q點(diǎn)的距離OQ=（2$\sqrt{3}$-3）R           
y軸上坐標(biāo)為[-（2$\sqrt{3}$-3）R，（3+2$\sqrt{3}$）R]區(qū)域內(nèi)射入的電子能打到圓筒上，由圖可知，圓弧ABC                         
對(duì)應(yīng)的表面有電子打到的區(qū)域?qū)��?yīng)的角為240°         
所以圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有
電子打到的區(qū)域的面積之比為2：1
答：（1）x＜0區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為v₀B，方向沿y軸負(fù)方向；
（2）電子初速度應(yīng)滿足v₀＜$\frac{BeR}{m}$．
（3）從y軸上[R，7R]范圍射入磁場(chǎng)的電子能打到圓筒上，電子打到的區(qū)域的面積之比為2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫出臨界軌跡是關(guān)鍵，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式分析，較難