Question

3．如圖所示，質(zhì)量為m的小球，由長(zhǎng)為R的細(xì)線系住，細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過(guò)A的豎直線，在AB上釘鐵釘D，線能承受的最大拉力是10mg（g為重力加速度），現(xiàn)將細(xì)線沿水平方向拉直，然后由靜止釋放，不計(jì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）小球剛到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求釘子到A點(diǎn)距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小球下擺的過(guò)程中，繩子的拉力不做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求小球剛到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度的大��；
（2）小球在豎直平面內(nèi)要做圓周運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)的速度應(yīng)大于等于$\sqrt{gr}$，r是圓周的半徑，碰釘子后的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小越容易滿足條件；根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律分別列式后聯(lián)立求解出臨界半徑，從而得解．

解答 解：（1）小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒定律：$\frac{1}{2}m{v^2}=mgR$
得：$v=\sqrt{2gR}$
（2）設(shè)釘子到A的距離為x₁，此時(shí)細(xì)線承受的拉力是10mg，由牛頓第二定律得 $10mg-mg=m\frac{v^2}{{R-{x_1}}}$
代入數(shù)據(jù)得：${x_1}=\frac{7}{9}R$
設(shè)釘子到A的距離為x₂，小球恰好能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則在圓周的最高點(diǎn)有 $mg=m\frac{v_m^2}{{R-{x_2}}}$
從最低點(diǎn)上升到最高點(diǎn)的過(guò)程有 $\frac{1}{2}m{v^2}=mg2（R-{x_2}）+\frac{1}{2}mv_m^2$
代入數(shù)據(jù)得：${x_2}=\frac{3}{5}R$
因此釘子到A點(diǎn)距離應(yīng)x₂≤x≤x₁，即$\frac{3}{5}R≤x≤\frac{7}{9}R$
答：
（1）小球剛到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度的大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）釘子到A點(diǎn)距離的取值范圍是$\frac{3}{5}R≤x≤\frac{7}{9}R$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵找出臨界狀態(tài)，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律列式后聯(lián)立求解．