Question

（2012?福州模擬）在福建省科技館中，有一個(gè)模擬萬(wàn)有引力的裝置，在如圖1所示的類(lèi)似錐形漏斗固定的容器中，有兩個(gè)小球在該容器表面上繞漏斗中心軸做水平圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)行能形象地模擬了太陽(yáng)系中星球圍繞太陽(yáng)的運(yùn)行．圖2為其示意圖．圖3為其模擬的太陽(yáng)系行星運(yùn)動(dòng)圖．圖2中球離中心軸的距離相當(dāng)于行星離太陽(yáng)的距離．
（1）在圖3中，設(shè)行星A₁和B₁，離太陽(yáng)距離分別為r₁，和r₂，求A₁、B₁，運(yùn)行速度大小之比．
（2）在圖2中，若質(zhì)量為m的A球速度大小v，在距離中心軸為x₁的軌道面上旋轉(zhuǎn)，由于受到微小的摩擦阻力，A球繞軸旋轉(zhuǎn)同時(shí)緩慢落向漏斗中心．當(dāng)其運(yùn)動(dòng)到距離中心軸為x₂的軌道面時(shí)，兩軌道面之間的高度差為H．求此過(guò)程中A球克服摩擦阻力所做的功．

Answer 1

分析：人造地球衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，再運(yùn)用牛頓第二定律列方程求線速度與半徑的關(guān)系．A球繞軸旋轉(zhuǎn)同時(shí)緩慢落向漏斗中心的過(guò)程中，重力與摩擦力做功，要根據(jù)動(dòng)能定理來(lái)解題，

解答：解：（1）設(shè)A₁和B₁的質(zhì)量分別為m₁和m₂
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律

GMm1

r 2 1

=

m1 v 2 1

r1

GMm2

r 2 2

=

m1 v 2 2

r2

     聯(lián)立解得 

v1

v2

=

r2 r1

（2）設(shè)小球距離中心軸x₂的軌道面運(yùn)動(dòng)的速度為v′，
由于小球的運(yùn)動(dòng)模擬行星運(yùn)動(dòng)，
有  

v

v′

=

x2 x1

根據(jù)動(dòng)能定理：mgH -Wf=

1

2

mv′2-

1

2

mv2
聯(lián)立解得：Wf=mgH-

1

2

mv′2+

1

2

mv2=mgH-

m(x1-x2)v2

2x2

答：（1）求A₁、B₁，運(yùn)行速度大小之比

v1

v2

=

r2 r1

；（2）克服摩擦阻力所做的功Wf=mgH-

m(x1-x2)v2

2x2

．

點(diǎn)評(píng)：人造地球衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一定要使用萬(wàn)有引力提供向心力的公式來(lái)討論半徑與線速度的關(guān)系．A球繞軸旋轉(zhuǎn)同時(shí)緩慢落向漏斗中心的過(guò)程中，重力與摩擦力做功，mgH -Wf=

1

2

mv′2-

1

2

mv2．