Question

如圖所示，兩個(gè)帶等量異種電荷、豎直放置的、電容為C、間距為d的平行金屬板，兩板之間的電場(chǎng)可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)．此外兩板之間還存在一種物質(zhì)，使小球受到一個(gè)大小為F=kv（k為常數(shù)，v為小球速率）方向總是沿背離圓心的力．一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為-q的小球，用長為L（L＜d）的不可伸長細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，將小球拉至水平位置M，由靜止釋放，當(dāng)小球向下擺過60°到達(dá)N點(diǎn)時(shí)，速度恰為零．（細(xì)線始終處于伸直狀態(tài)）則：
（1）左極板帶電量Q是多少？
（2）小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的加速度大小是多少？
（3）小球的最大速度是多少？此時(shí)細(xì)線上的拉力是多少？

Answer 1

分析：（1）從M到N的過程中電場(chǎng)力和重力做功，由動(dòng)能定理求得電場(chǎng)力和重力的關(guān)系，結(jié)合公式C=

Q

U

和E=

U

d

求得極板上的電量；
（2）球在N點(diǎn)的加速度方向垂直O(jiān)N沿切線向上，對(duì)在N點(diǎn)的小球進(jìn)行受力分析，將電場(chǎng)力和重力正交分解，使用牛頓第二定律即可；
（3）小球速度最大時(shí)在MN弧的中點(diǎn)P處，對(duì)球從M到P由動(dòng)能定理求得速度，此時(shí)小球受到的重力、電場(chǎng)力、細(xì)繩上的拉力和F提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，寫出運(yùn)動(dòng)學(xué)的方程，求解即可．

解答：解：（1）設(shè)兩板間電勢(shì)差為U、場(chǎng)強(qiáng)為E
由C=

Q

U

和E=

U

d

得     E=

Q

Cd

①
對(duì)球，從M到N由動(dòng)能定理有mgLsin60°-qEcos60°=0-0
所以     qE=mgtan60°=

3

mg②
由①②Q=

3 mgCd

q

（2）球在N點(diǎn)的加速度方向垂直O(jiān)N沿切線向上，在N點(diǎn)受力分析，將電場(chǎng)力和重力正交分解，在切線方向有qEcos30°-mgcos60°=maa=

qEcos30°-mgcos60°

m

=

3 mg 3 2 -mg 1 2

m

=g
（或由單擺的對(duì)稱性得M、N兩處加速度大小相等均為a=g）
（3）小球速度最大時(shí)在MN弧的中點(diǎn)P處，對(duì)球從M到P由動(dòng)能定理有mgLsin30°-qEL(1-cos30°)=

1

2

mv2-0
解得  v=

(4-2 3 )gL

=(

3

-1)

gL

在P點(diǎn)對(duì)球受力分析，設(shè)線上拉力為F．此時(shí)細(xì)繩的方向與重力和電場(chǎng)力的合力在同一條直線上，合力充當(dāng)向心力有F-kv-

(mg)2+(qE)2

=m

v2

L

解得           F=(6-2

3

)mg+k(

3

-1)

gL

答：（1）左極板帶電量Q=

3 mgCd

q

；
（2）小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的加速度大小為g；
（3）小球的最大速度是(

3

-1)

gL

，此時(shí)細(xì)線上的拉力F=(6-2

3

)mg+k(

3

-1)

gL

．

點(diǎn)評(píng)：該題中帶電的小球在重力和電場(chǎng)力的復(fù)合場(chǎng)中做類單擺運(yùn)動(dòng)，需要正確對(duì)運(yùn)動(dòng)的過程和小球的受力減小分析．該題中需要注意的是：小球速度最大時(shí)重力、電場(chǎng)力、細(xì)繩上的拉力和F提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．