Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內固定的強磁性圓軌道半徑為R，A、B兩點分別為軌道的最高點與最低點．質點沿軌道外側做完整的圓周運動，受圓軌道的強磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，當質點以速率v＝通過A點時，對軌道的壓力為其重力的7倍，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g.

(1)求質點的質量；

(2)質點能做完整的圓周運動過程中，若磁性引力大小恒定，試證明質點對A、B兩點的壓力差為定值；

(3)若磁性引力大小恒為2F，為確保質點做完整的圓周運動，求質點通過B點最大速率．

Answer 1

【答案】(1) (2)質點能做完整的圓周運動，設磁性引力大小為F′，在A點有：

根據牛頓第三定律：FNA′＝FNA⑤

在B點有：⑥

根據牛頓第三定律：FNB′＝FNB⑦

從A點到B點過程，根據機械能守恒定律：⑧

由④⑤⑥⑦⑧聯(lián)立得：FNA′－FNB′＝6mg為定值，得到證明． (3)

【解析】

(1)在A點： ①

根據牛頓第三定律：FA′＝FA＝7mg②

由①②式聯(lián)立得：③

(2) 質點能做完整的圓周運動，設磁性引力大小為F′，在A點有：

根據牛頓第三定律：FNA′＝FNA⑤

在B點有：⑥

根據牛頓第三定律：FNB′＝FNB⑦

從A點到B點過程，根據機械能守恒定律：⑧

由④⑤⑥⑦⑧聯(lián)立得：FNA′－FNB′＝6mg為定值，得到證明．

(3)在B點，根據牛頓第二定律：

當FB＝0，質點速度最大

⑨

由③⑨聯(lián)立得：