Question

16．木星是自西向東轉(zhuǎn)動(dòng)的，是太陽(yáng)系中自轉(zhuǎn)最快的行星．其質(zhì)量M=2×10²⁷kg，半徑R=7×10⁷m，自轉(zhuǎn)周期T=4×10⁴s，取引力常量G=$\frac{20}{3}$×10^-11N•m²/kg²．（結(jié)果保留到整數(shù)位）
（1）求同一物體在木星赤道上受到的重力與在木星兩極上受到重力的百分比；
（2）要使木星赤道上的物體漂浮起來(lái)，則應(yīng)使木星的自轉(zhuǎn)角速度增為原來(lái)的幾倍．

Answer 1

分析 （1）在赤道物體的重力為萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，另一個(gè)分力提供向心力；在兩極上重力等于萬(wàn)有引力；
（2）要使木星赤道上的物體漂浮起來(lái)，則萬(wàn)有引力完全提供向心力，結(jié)合向心力公式F_向=mω²R分析．

解答 解：（1）在赤道，萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供向心力，另一個(gè)分力為重力，故：
萬(wàn)有引力為：${F_萬(wàn)}=G\frac{Mm}{R^2}=（\frac{20}{3}×1{0^{-11}}）×\frac{{（2×1{0^{27}}）×m}}{{（7×1{0^7}{）^2}}}=272.1m$；
向心力為：${F_向}=m{（\frac{2π}{T}）^2}R=m×{（\frac{2×3.14}{{4×1{0^4}}}）^2}×7×1{0^7}=1.7m$；
故在重力為：${F_重}=G\frac{Mm}{R^2}-m{（\frac{2π}{T}）^2}R=272.1m-1.7m=270.4m$；
故同一物體在木星赤道上受到的重力為：${F_{重2}}={F_萬(wàn)}=G\frac{Mm}{R^2}=（\frac{20}{3}×1{0^{-11}}）×\frac{{（2×1{0^{27}}）×m}}{{（7×1{0^7}{）^2}}}=272.1m$；
故同一物體在木星赤道上受到的重力與在木星兩極上受到重力的百分比為：
$\frac{F_重}{{{F_{重2}}}}×100%=\frac{270.4m}{272.1m}×100%=99.4%$；
（2）要使木星赤道上的物體漂浮起來(lái)，則向心力等于萬(wàn)有引力，故向心力增加的倍數(shù)為：
$\frac{F_萬(wàn)}{F_向}=\frac{272.1m}{1.7m}=160$；
根據(jù)公式F_向=mω²R，角速度增加為原來(lái)的$\sqrt{160}$倍，即12.6倍；
答：（1）求同一物體在木星赤道上受到的重力與在木星兩極上受到重力的百分比為99.4%；
（2）要使木星赤道上的物體漂浮起來(lái)，則應(yīng)使木星的自轉(zhuǎn)角速度增為原來(lái)的12.6倍．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是考慮木星的自傳，明確萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供向心力，另一個(gè)分力提供重力，然后根據(jù)萬(wàn)有引力定律和同一條直線上力的合成分解知識(shí)分析．